Matemática para Vestibulares

Foco em Medicina

UNIFESP 2026 – Geometria Plana | Questão 18 Resolvida

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No plano, o segmento PS intersecta os lados do quadrado ABCD nos pontos Q e R, conforme a figura.

Segmento PS intersectando o quadrado ABCD nos pontos Q e R. Triângulos retângulos PQA e QRT em um plano cartesiano. Geometria Plana UNIFESP 2026.

a) Se a medida x do segmento PA for igual a 9 cm, qual será a área do quadrado ABCD?
b) Se a medida y do segmento RS for igual a 14 cm, qual será a área do triângulo QRT?

Resolução (a)

Observando a figura, podemos notar que o lado do quadrado ABCD tem a mesma medida que o lado QT do triângulo QRT.

Como os triângulos QRT e PQA são triângulos retângulos semelhantes, seus lados são proporcionais e podemos usar uma regra de três simples para obter a medida de QT.

\(\dfrac{10}{9} = \dfrac{12}{(QT)}\)

Multiplicando em cruz:

\(10(QT) = 12 \cdot 9\)

\(QT = \dfrac{108}{10}\)

\(QT = 10,8\)

Agora, que conhecemos o lado do quadrado ABCD (10,8 cm), podemos calcular sua área:

\(A_{\square} = 10,8^2\)

\(A_{\square} = 116,64\)

Portanto, a área do quadrado ABCD é de 116,64 cm²

Resolução (b)

Inicialmente, vamos prolongar o segmento PB até um ponto V, coincidente com projeção perpendicular de S nesse segmento.

Diagrama geométrico com o prolongamento do segmento PB até o ponto V e a projeção perpendicular de S, formando o triângulo retângulo PSV semelhante ao triângulo QRT. Resolução UNIFESP.

Dessa forma, teremos que os triângulos QRT e PSV são semelhantes, o que nos permite estabelecer a seguinte relação:

\(\dfrac{SV}{RT} = \dfrac{10+12+14}{12}\)

\(\dfrac{SV}{RT} = \dfrac{36}{12}\)

\(\dfrac{SV}{RT} = 3\)

\(SV = 3(RT)\)

Como SV coincide com o lado do quadrado ABCD e também a medida do lado do quadrado é igual a medida de QT, temos a seguinte relação entre os catetos do triângulo QRT

\(QT = 3(RT)\)

Antes de aplicar o teorema de Pitágoras, vamos focar no que o exercício pede, ou seja, a área do triângulo QRT

\(A_{\Delta} = \dfrac{(QT) \cdot (RT)}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT) \cdot (RT)}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT)^2}{2}\)

Note que com essas substituições feitas, a área do triângulo QRT depende unicamente de descobrirmos a medida de (RT)², a qual será obtida aplicando o Teorema de Pitágoras.

\((RT)^2 + (QT)^2 = 12^2\)

\((RT)^2 + [3\cdot (RT)]^2 = 144\)

\((RT)^2 + 9 \cdot (RT)^2 = 144\)

\(10 \cdot (RT)^2 = 144\)

\((RT)^2 = \dfrac{144}{10}\)

\((RT)^2 = 14,4\)

Agora que descobrimos \((RT)^2\), podemos obter a área do triângulo QRT:

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT)^2}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot 14,4}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{43,2}{2}\)

\(A_{\Delta} = \fbox{21,6}\)

Concluímos que a área do triângulo QRT é de 21,6 cm².

UNIFESP 2026 – Média Aritmética e P.A.| Questão 17 Resolvida

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Um time de basquetebol disputou 20 jogos em um torneio escolar. Nos 10 primeiros jogos disputados, os números de pontos que esse time marcou foram, respectivamente, 62, 75, 62, 89, 78, 51, 86, 63, 87 e 47.

a) Seja M4 a média dos números de pontos marcados por esse time nos 4 primeiros jogos. Sabendo que, nos 10 primeiros jogos, esse time venceu apenas aqueles em que marcou mais do que M4 pontos, quantos jogos esse time venceu nessas 10 primeiras disputas?

b) Nos 10 últimos jogos disputados por esse time, os respectivos números de pontos marcados por jogo formaram uma progressão aritmética de razão 6. Sabendo que o total de pontos marcados pelo time nos 10 primeiros jogos foi igual ao total de pontos marcados nos 10 últimos jogos, quantos pontos foram marcados no 16º jogo?

Resolução (a)

A pontuação nas 4 primeiras partidas foram 62, 75, 62 e 89, com isso podemos calcular a pontuação média:

\(M_4 = \dfrac{62+75+62+89}{4} = \dfrac{288}{4} = \fbox{72}\)

Isso significa que, nas 10 primeiras partidas esse time venceu apenas àquelas com pontuação superior a 72 pontos.

As pontuações das primeiras dez partidas foram:

62, 75, 62, 89, 78, 51, 86, 63, 87 e 47.

Dentre essas pontuações, vamos contar apenas as superiores a 72 pontos:

75, 89, 78, 86 e 87

O que nos dá um total de 5 vitórias.

Resolução (b)

Inicialmente, vamos calcular o somatório da pontuação dos 10 primeiros jogos:

62 + 75 + 62 + 89 + 78 + 51 + 86 + 63 + 87 + 47 = 700

Vamos considerar a pontuação do 11º jogo como sendo a1 e a do 20º como sendo a10, com esse ajuste, a pontuação da 16º jogo será o termo a6 da progressão aritmética.

Sabemos que a fórmula do termos geral da P.A. e da soma dos termos de uma P.A. são, respectivamente:

\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \)

\(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}\)

Temos, então:

\(S_{10} = 700\) e \(r =6\)

\(\dfrac{(a_1 + a_{10})\cdot 10}{2} = 700\)

\((a_1 + a_{10}) = \dfrac{2 \cdot 700}{10}\)

\(a_1 + a_{10} = 140\)

Desenvolvendo a10

\(a_1 + a_1 + (10 – 1)\cdot 6 = 140\)

\(2a_1 + 9\cdot 6 = 140\)

\(2a_1 + 54 = 140\)

\(2a_1 = 140 – 54\)

\(a_1 = \dfrac{86}{2}\)

\(a_1 = \fbox{43}\)

Sabendo o valor de a1, vamos obter a6 pela fórmula do termo geral:

\(a_6 = 43 + (6-1)\cdot 6\)

\(a_6 = 43 + 5 \cdot 6\)

\(a_6 = 43 + 30\)

\(a_6 = \fbox{73}\)

Portanto, concluímos que no 16º jogo forma marcados 73 pontos.

Uma forma alternativa de resolver essa questão, usando a mesma notação de a6 para o 16º jogo seria a seguinte.

Utilizando que a soma igual a 700 e pela simetria dos termos equidistantes dos extremos, temos:

\(a_5 + a_6 = a_1 + a_{10} = 140\)

\(a_6 – a_ 5 = 6\)

Temos o sistema:

\(\begin{cases} a_6 + a_5 = 140 \\ a_6 -a_5 = 6 \end{cases}\)

Somando as duas equações:

\(2\cdot a_6 = 146\)

\(a_6 = \dfrac{146}{2}\)

\(a_6 = \fbox{73}\)

O que nos leva ao mesmo resultado de 73 pontos no 16º jogo.




UNIFESP 2026 – Probabilidade e Análise Combinatória | Questão 16 Resolvida

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Uma caixa contém prismas regulares, todos distintos entre si em relação a quatro características: o material de que são feitos (plástico ou acrílico), sua altura (10 cm, 15 cm, 20 cm ou 25 cm), sua cor (amarela, azul, verde ou vermelha) e o polígono que forma sua base (triângulo, quadrado, pentágono, hexágono ou heptágono). As arestas das bases desses prismas têm a mesma medida, e a caixa contém prismas com todas as combinações possíveis das características indicadas.

a) Ao se escolher aleatoriamente um desses prismas, qual a probabilidade de ele ser de plástico, mas não ser da cor azul?

b) Dois prismas quaisquer são distintos em uma, duas, três ou quatro características. Por exemplo, o prisma triangular, de 10 cm de altura, vermelho, feito de plástico, tem três características distintas do prisma pentagonal, de 10 cm de altura, azul, feito de acrílico. Determine quantos prismas nessa caixa são distintos em exatamente duas características do prisma heptagonal, de 20 cm de altura, verde, feito de acrílico.

RESOLUÇÃO (a)

Apesar de termos 4 características, nessa questão vamos trabalhar apenas com as duas características citadas, material e cor.

A probabilidade que procuramos é a que o prisma seja de plástico e não seja azul, vamos calcular essas duas probabilidades separadamente:

\(P(M_P) = \dfrac{1}{2}\)

\(P(C_A) =\dfrac{1}{4} \Rightarrow P(\overline{C_A}) = 1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)

Como essas probabilidades são independentes, teremos:

\(P(M_p \cap \overline{C_A}) = P(M_P) \times P(\overline{C_A})\)

\(P(M_P \cap \overline{C_A}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}\)

Portanto, a probabilidade de se escolher um prisma de plástico mas não ser da cor azul é de \(\dfrac{3}{8}\).

RESOLUÇÃO (b)

As características e o número de opções são:
Material: 2 opções
Altura: 4 opções
Cor: 4 opções
Base: 5 opções

A quantidade de maneiras distintas de se diferenciar por 2 características é dada por \(C_{4,2} = 6\)

Note que devemos ter exatamente 2 características distintas, isso implica que as outras duas características devem ser iguais.
As características iguais não irão influenciar na quantidade pois, nesse caso, teremos apenas uma escolha que é repetir a característica.

Vamos separar os casos pelas características distintas e fazer o produto do número de escolhas em cada caso:
Note que a quantidade de escolhas em cada caso é obtido tirando uma unidade das opções da característica que não queremos repetir.

Material e Altura: \(1\times 3 = 3\)
Material e Cor: \(1 \times 3 = 3\)
Material e Base: \(1 \times 4 = 4\)
Altura e Cor: \(3 \times 3 = 9\)
Altura e Base: \(3 \times 4 = 12\)
Cor e Base: \(3 \times 4 = 12\)

Somando todos os casos:

\(3 + 3 + 4 + 9 + 12 + 12 = \fbox{43}\)

Portanto, concluímos que há 43 prismas nessa caixa que são distintos em exatamente duas características do prisma heptagonal, de 20 cm de altura, verde, feito de acrílico.

Uni-FACEF Medicina 2026 – Probabilidade | Questão 09 Resolvida

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Ana e Bia pensaram, de forma aleatória e independentemente uma da outra, em um número inteiro maior do que 1 e menor do que 10. A probabilidade de que a diferença entre esses dois números (considerada nula ou positiva) seja menor do que 2 é

(A) 11/64
(B) 11/32
(C) 15/32
(D) 11/16
(E) 15/64

Resolução:

Inicialmente, vamos determinar os números que podem ser escolhidos. A informação do enunciado nos diz que cada uma pode escolher um número inteiro maior do que 1 e menor do que 10, o que nos dá as possibilidades:

2, 3 ,4 ,5 ,6, 7, 8, 9

Temos 8 possibilidades de escolha para cada uma delas, o que nos dará, a seguinte dimensão de espaço amostral:

\(n(\Omega) =8 \times 8 = 64\)

A diferença entre esses dois números deve ser menor do que 2, então, vamos fixar a primeira escolha sendo a de Ana e depois a de Bia.

1º Caso: Bia pensa no mesmo número que Ana. (A – B = 0)

Neste caso, Ana tem 8 possibilidades e Bia, deve escolher o mesmo número, restringindo sua escolha a 1 possibilidade.

\(8 \times 1 = 8\)

2° Caso: Bia pensa no sucessor da escolha de Ana (A – B = -1)

Neste caso, Ana tem 7 possibilidades, pois o número 9 não terá sucessor no conjunto de possibilidades de escolhas e, novamente, a escolha de Bia se restringe a uma única possibilidade, o sucessor do número de Ana.

\(7 \times 1 = 7\)

3º Caso: Bia pensa no antecessor da escolha de Ana (A – B = 1)

É uma caso similar ao segundo, só que dessa vez o número 2 não terá antecessor no conjunto de possibilidades de escolhas para Ana, que terá 7 opções e, novamente, Bia fica restrita a uma única escolha.

\(7 \times 1 = 7\)

Agora, podemos calcular a probabilidade da diferença entre as escolhas de Ana e Bia serem menores do que 2, vamos chamar esse evento de D, e assim teremos:

\(P(D) = \dfrac{8+2 \times 7}{64}\)

\(P(D) = \dfrac{8+14}{64}\)

\(P(D) = \dfrac{22}{64}\)

Simplificando o numerador e o denominador (ambos pares)

\(P(D) = \dfrac{11}{32}\)

O que nos dá alternativa (B) 11/32 como gabarito.

Visualmente poderíamos criar uma tabela de diferenças modulares, considere a primeira linha escolhas da Ana e a primeira coluna as escolhas da Bia.

Δ23456789
201234567
310123466
421012345
532101234
643210123
754321012
865432101
976543210

Note que temos uma matriz de diferenças modulares 8 por 8 com uma diagonal de 8 elementos com diferença 0 (zero) e 2 diagonais de 7 elementos com diferença 1.

O que nos confirma \(P(D) = \dfrac{8+7+7}{8\times8} = \dfrac{22}{64} = \dfrac{11}{32}\)

Alternativa (B) 11/32

Uni-FACEF Medicina 2026 – Porcentagem e Média | Questão 08 Resolvida

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Uma empresa funciona em um prédio de 20 andares, sendo que nos 3 primeiros andares trabalham os funcionários do setor de serviço de atendimento ao cliente (SAC). Considerando todos os andares, a média dos números de funcionários por andar é igual a 32. Se 20% do total de funcionários são do SAC, o número de funcionários que não são do SAC é igual a

(A) 336.
(B) 484.
(C) 512.
(D) 320.
(E) 436.

Resolução

Se a média de funcionário por andar é 32 e o prédio tem 20 andares, podemos calcular a quantidade de funcionários pelo produto:

\(\textbf{TOTAL: }20 \times 32 = 640\)

Como 20% do total de funcionários são do SAC, a porcentagem de funcionários que não são do SAC é

(100 – 20)% = 80%.

Para obtermos o número de funcionários que não são do SAC, basta calcularmos 80% de 640.

\(\dfrac{80}{100} \times 640 = \fbox{512}\)

E, portanto a alternativa de gabarito é: (C) 512.

💡 Dica do Professor LG

Nessa questão o examinador poderia ter criado uma pegadinha interessante, quando ele cita que o pessoal do SAC trabalha nos três primeiros andares e que a média é de 32 pessoas por andar, isso poderia induzir algumas pessoas a calcular \(3 \times 32 = 96\) e usar esse valor como número de funcionários do SAC. Dessa forma, colocando uma alternativa 640 – 96 = 544, derrubaria alguns candidatos.

Uni-FACEF Medicina 2026 – Volume da Pirâmide e Teorema de Pitágoras | Questão 07 Resolvida

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Um cubo de aresta 3 cm tem uma face que é a base de uma pirâmide de vértice V, conforme mostra a figura.

Cubo de aresta 3 cm com uma pirâmide acoplada em sua face superior. Vértice V destacado e aresta lateral perpendicular à base. Questão de Geometria Espacial Uni-FACEF Medicina 2026.

Observando que uma aresta lateral da pirâmide é perpendicular à sua base e sabendo que a razão entre os volumes da pirâmide e do cubo é igual a \(\dfrac{4}{9}\) , a medida da aresta VA é

(A) \(5 \sqrt{2}\)cm
(B) \(6 \) cm
(C) \(3 \sqrt{3}\)cm
(D) \(5 \) cm
(E) \(3 \sqrt{2}\)cm

Resolução

Vamos denominar de B o vértice da pirâmide que, juntamente com o vértice V, determinam a aresta lateral perpendicular à base da pirâmide.

Diagrama do triângulo retângulo VBA extraído da pirâmide, com catetos medindo 3 cm e 4 cm, destacando a hipotenusa VA como aresta lateral. Aplicação do Teorema de Pitágoras.

Os vértices V, B e A, formam um triângulo retângulo, o lado VA é justamente a hipotenusa desse triângulo e o lado BA mede 3 cm.

A estratégia será descobrir a medida do veŕtice VB e aplicando o teorema de Pitágoras obter a medida da aresta VA.

Calculando o volume da pirâmide e do cubo:

\(V_p = \dfrac{1}{3}[ 3^2 \cdot (VB)] = \dfrac{9 \cdot VB}{3} = 3 \cdot(VB)\)

\(V_c = 3^3 = 27\)

A razão entre os volumes da pirâmide e do cubo é \(\dfrac{4}{9}\), sendo assim:

\(\dfrac{3 \cdot(VB)}{27} = \dfrac{4}{9}\)

Simplificando o lado esquerdo da equação:

\(\dfrac{(VB)}{9} = \dfrac{4}{9}\)

Multiplicando ambos os lados da equação por 9

\((VB) = 4\)

Isso nos dá um triângulo retângulo com catetos (VB) = 4 e (BA) = 3.

Nesse momento, podemos finalizar a questão lembrando do mais conhecido terno pitagórico (3,4,5), ou aplicar e desenvolver o teorema de Pitágoras:

\((VA)^2 = 3^2 + 4^2\)

\((VA)^2 = 9+16\)

\((VA)^2 = 25\)

\((VA) = \sqrt{25}\)

\((VA) = \fbox{5}\)

Alternativa (D) 5 cm