Matemática para Vestibulares

Foco em Medicina

UNIFESP

UNIFESP 2026 – Geometria Plana | Questão 20 Resolvida

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Um quadrado ABCD foi dividido em dois retângulos, em um quadrado Q1 e em um quadrado Q2, tal que a diagonal AC do quadrado passe pelo vértice em comum de Q1 e Q2, conforme a figura.

Quadrado ABCD dividido em dois retângulos e dois quadrados Q1 e Q2, com a diagonal AC passando pelo vértice comum de Q1 e Q2. Questão de Geometria Plana UNIFESP 2026.


a) Se a área do quadrado Q2 for o dobro da área do quadrado Q1, qual será o valor de tg α?

b) Se a medida de α for igual a 60° e a área do quadrado Q1 for 48 cm², qual será o perímetro do quadrado ABCD?

Resolução (a)

Vamos chamar de L2 o lado do quadrado Q2 e L1 o lado do quadrado Q1, conforme podemos observar na figura.

Diagrama geométrico mostrando os lados L1 e L2 dos quadrados Q1 e Q2, o ângulo α e a relação trigonométrica tg α = L2/L1 para a resolução da UNIFESP 2026.

Usando razão de semelhança, temos \(\dfrac{L_2}{L_1} = K\)

A razão entre as áreas dos quadrados é dada por \(\dfrac{AQ_2}{AQ_1} = K^2\)

Usando que \(AQ_2 = 2 \cdot AQ_1\), temos:

\(\dfrac{AQ_2}{AQ_1} = \dfrac{2\cdot AQ_1}{AQ_1} = 2\)

Logo, \(K^2 = 2\) e, portanto \(K = \sqrt{2}\)

Voltando à figura, podemos notar que o ângulo α faz parte de um triângulo retângulo onde L2 é o cateto oposto e L1 o cateto adjacente a este ângulo α.

Isso nos dará a seguinte relação:

\(\textrm{tg }\alpha = \dfrac{L_2}{L_1}\)

\(\textrm{tg }\alpha = K\)

\(\textrm{tg }\alpha = \sqrt{2}\)

Resolução (b)

Vamos utilizar as mesmas notações do item (a).

Como o lado do quadrado ABCD é dado por L1+L2, teremos que seu perímetro é dado por 4(L1 + L2).

Vamos utilizar as seguintes relações:

\(AQ_1 = 48 \Rightarrow L_1 = \sqrt{48}\)

\(L_1 = 4 \cdot \sqrt{3}\)

\(\textrm{tg }\alpha = \dfrac{L_2}{L_1}\)

\(\textrm{tg }60^{\circ} = \sqrt{3} \to \textrm{tg }\alpha = \sqrt{3}\)

Temos então:

\(\dfrac{L_2}{4 \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{3}\)

\(L_2 = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\)

\(L_2 = 12\)

Sabendo as medidas de L1 e L2, podemos calcular o perímetro do quadrado ABCD:

\(2p = 4\cdot (4 \cdot \sqrt{3} + 12)\)

\(2p = 16\cdot \sqrt{3} + 48 \text{ cm}\).

Observação: Em geometria utilizamos as seguintes notações:
p = semiperímetro
2p = perímetro

UNIFESP 2026 – Imagem de uma Função e Função Quadrática | Questão 19 Resolvida

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Sejam a, b, c e p constantes reais. A lei de formação de uma função \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e seu respectivo gráfico são dados a seguir:

\(f(x) = \begin{cases} – x+2, \qquad\text{se } x<p \\ x- 6, \qquad \text{se } p \leq x < 9 \\ ax^2 + bx + c, \qquad \text{se } x \geq 9 \end{cases}\)

Gráfico de função definida por partes composta por uma reta decrescente para x menor ou igual a p e uma parábola para x maior que p. Interseção das funções no ponto de abscissa p - UNIFESP 2026

a) Sabendo que os gráficos das funções \(g(x) = -x + 2\) e \(h(x) = x – 6\) se intersectam no ponto de abscissa p, determine a imagem de f.


b) Sabendo que f(9) = 3, determine f(21).

Resolução (a)

Para obtermos a imagem de f, devemos observar que tanto para \(x < p\) como para \(x \geq 9\) o gráfico da função cresce infinitamente, sendo assim, devemos procurar o valor mínimo da função de f, que ocorre para x = p.

Para obtermos o valor de p, vamos obter a intersecção de g(x) com h(x).

\(-x + 2 = x – 6\)

\(– x – x = – 6 – 2\)

\(-2x = -8 \Rightarrow 2x = 8\)

\(x = \dfrac{8}{2}\)

\(x = \fbox{4}\)

Agora, calculamos \(f(4) = -4 + 6 = -2\)

Concluímos que o valor mínimo da função f é -2 e, consequentemente, sua imagem será:

\(Im_f =\{ y \in \mathbb{R} | y \geq -2\}\)

Resolução (b)

A função quadrática \(f(x) = ax^2 +bx + c\) pode ser reescrita na forma canônica da seguinte maneira:

\(f(x) = a(x – x_v)^2 + y_v\)

Observando, pelo gráfico, que o vértice da parábola é o ponto V(12,0), a função fica:

\(f(x) = a (x – 12)^2 + 0\)

Como é informado que f(9) = 3, temos:

\(a(9-12)^2 = 3\)

\(a(-3)^2 = 3\)

\(9a = 3\)

\(a = \dfrac{3}{9} \Rightarrow a = \dfrac{1}{3}\)

Temos então \(f(x) = \dfrac{1}{3}(x-12)^2\)

Podemos agora calcular f(21)

\(f(21) = \dfrac{1}{3}(21- 12)^2\)

\(f(21) = \dfrac{1}{3}(9)^2\)

\(f(21) = \dfrac{81}{3}\)

\(f(21) = \fbox{27}\)

Portanto, concluímos que f(21) = 27.

UNIFESP 2026 – Geometria Plana | Questão 18 Resolvida

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No plano, o segmento PS intersecta os lados do quadrado ABCD nos pontos Q e R, conforme a figura.

Segmento PS intersectando o quadrado ABCD nos pontos Q e R. Triângulos retângulos PQA e QRT em um plano cartesiano. Geometria Plana UNIFESP 2026.

a) Se a medida x do segmento PA for igual a 9 cm, qual será a área do quadrado ABCD?
b) Se a medida y do segmento RS for igual a 14 cm, qual será a área do triângulo QRT?

Resolução (a)

Observando a figura, podemos notar que o lado do quadrado ABCD tem a mesma medida que o lado QT do triângulo QRT.

Como os triângulos QRT e PQA são triângulos retângulos semelhantes, seus lados são proporcionais e podemos usar uma regra de três simples para obter a medida de QT.

\(\dfrac{10}{9} = \dfrac{12}{(QT)}\)

Multiplicando em cruz:

\(10(QT) = 12 \cdot 9\)

\(QT = \dfrac{108}{10}\)

\(QT = 10,8\)

Agora, que conhecemos o lado do quadrado ABCD (10,8 cm), podemos calcular sua área:

\(A_{\square} = 10,8^2\)

\(A_{\square} = 116,64\)

Portanto, a área do quadrado ABCD é de 116,64 cm²

Resolução (b)

Inicialmente, vamos prolongar o segmento PB até um ponto V, coincidente com projeção perpendicular de S nesse segmento.

Diagrama geométrico com o prolongamento do segmento PB até o ponto V e a projeção perpendicular de S, formando o triângulo retângulo PSV semelhante ao triângulo QRT. Resolução UNIFESP.

Dessa forma, teremos que os triângulos QRT e PSV são semelhantes, o que nos permite estabelecer a seguinte relação:

\(\dfrac{SV}{RT} = \dfrac{10+12+14}{12}\)

\(\dfrac{SV}{RT} = \dfrac{36}{12}\)

\(\dfrac{SV}{RT} = 3\)

\(SV = 3(RT)\)

Como SV coincide com o lado do quadrado ABCD e também a medida do lado do quadrado é igual a medida de QT, temos a seguinte relação entre os catetos do triângulo QRT

\(QT = 3(RT)\)

Antes de aplicar o teorema de Pitágoras, vamos focar no que o exercício pede, ou seja, a área do triângulo QRT

\(A_{\Delta} = \dfrac{(QT) \cdot (RT)}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT) \cdot (RT)}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT)^2}{2}\)

Note que com essas substituições feitas, a área do triângulo QRT depende unicamente de descobrirmos a medida de (RT)², a qual será obtida aplicando o Teorema de Pitágoras.

\((RT)^2 + (QT)^2 = 12^2\)

\((RT)^2 + [3\cdot (RT)]^2 = 144\)

\((RT)^2 + 9 \cdot (RT)^2 = 144\)

\(10 \cdot (RT)^2 = 144\)

\((RT)^2 = \dfrac{144}{10}\)

\((RT)^2 = 14,4\)

Agora que descobrimos \((RT)^2\), podemos obter a área do triângulo QRT:

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot (RT)^2}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{3 \cdot 14,4}{2}\)

\(A_{\Delta} = \dfrac{43,2}{2}\)

\(A_{\Delta} = \fbox{21,6}\)

Concluímos que a área do triângulo QRT é de 21,6 cm².

UNIFESP 2026 – Média Aritmética e P.A.| Questão 17 Resolvida

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Um time de basquetebol disputou 20 jogos em um torneio escolar. Nos 10 primeiros jogos disputados, os números de pontos que esse time marcou foram, respectivamente, 62, 75, 62, 89, 78, 51, 86, 63, 87 e 47.

a) Seja M4 a média dos números de pontos marcados por esse time nos 4 primeiros jogos. Sabendo que, nos 10 primeiros jogos, esse time venceu apenas aqueles em que marcou mais do que M4 pontos, quantos jogos esse time venceu nessas 10 primeiras disputas?

b) Nos 10 últimos jogos disputados por esse time, os respectivos números de pontos marcados por jogo formaram uma progressão aritmética de razão 6. Sabendo que o total de pontos marcados pelo time nos 10 primeiros jogos foi igual ao total de pontos marcados nos 10 últimos jogos, quantos pontos foram marcados no 16º jogo?

Resolução (a)

A pontuação nas 4 primeiras partidas foram 62, 75, 62 e 89, com isso podemos calcular a pontuação média:

\(M_4 = \dfrac{62+75+62+89}{4} = \dfrac{288}{4} = \fbox{72}\)

Isso significa que, nas 10 primeiras partidas esse time venceu apenas àquelas com pontuação superior a 72 pontos.

As pontuações das primeiras dez partidas foram:

62, 75, 62, 89, 78, 51, 86, 63, 87 e 47.

Dentre essas pontuações, vamos contar apenas as superiores a 72 pontos:

75, 89, 78, 86 e 87

O que nos dá um total de 5 vitórias.

Resolução (b)

Inicialmente, vamos calcular o somatório da pontuação dos 10 primeiros jogos:

62 + 75 + 62 + 89 + 78 + 51 + 86 + 63 + 87 + 47 = 700

Vamos considerar a pontuação do 11º jogo como sendo a1 e a do 20º como sendo a10, com esse ajuste, a pontuação da 16º jogo será o termo a6 da progressão aritmética.

Sabemos que a fórmula do termos geral da P.A. e da soma dos termos de uma P.A. são, respectivamente:

\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \)

\(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}\)

Temos, então:

\(S_{10} = 700\) e \(r =6\)

\(\dfrac{(a_1 + a_{10})\cdot 10}{2} = 700\)

\((a_1 + a_{10}) = \dfrac{2 \cdot 700}{10}\)

\(a_1 + a_{10} = 140\)

Desenvolvendo a10

\(a_1 + a_1 + (10 – 1)\cdot 6 = 140\)

\(2a_1 + 9\cdot 6 = 140\)

\(2a_1 + 54 = 140\)

\(2a_1 = 140 – 54\)

\(a_1 = \dfrac{86}{2}\)

\(a_1 = \fbox{43}\)

Sabendo o valor de a1, vamos obter a6 pela fórmula do termo geral:

\(a_6 = 43 + (6-1)\cdot 6\)

\(a_6 = 43 + 5 \cdot 6\)

\(a_6 = 43 + 30\)

\(a_6 = \fbox{73}\)

Portanto, concluímos que no 16º jogo forma marcados 73 pontos.

Uma forma alternativa de resolver essa questão, usando a mesma notação de a6 para o 16º jogo seria a seguinte.

Utilizando que a soma igual a 700 e pela simetria dos termos equidistantes dos extremos, temos:

\(a_5 + a_6 = a_1 + a_{10} = 140\)

\(a_6 – a_ 5 = 6\)

Temos o sistema:

\(\begin{cases} a_6 + a_5 = 140 \\ a_6 -a_5 = 6 \end{cases}\)

Somando as duas equações:

\(2\cdot a_6 = 146\)

\(a_6 = \dfrac{146}{2}\)

\(a_6 = \fbox{73}\)

O que nos leva ao mesmo resultado de 73 pontos no 16º jogo.




UNIFESP 2026 – Probabilidade e Análise Combinatória | Questão 16 Resolvida

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Uma caixa contém prismas regulares, todos distintos entre si em relação a quatro características: o material de que são feitos (plástico ou acrílico), sua altura (10 cm, 15 cm, 20 cm ou 25 cm), sua cor (amarela, azul, verde ou vermelha) e o polígono que forma sua base (triângulo, quadrado, pentágono, hexágono ou heptágono). As arestas das bases desses prismas têm a mesma medida, e a caixa contém prismas com todas as combinações possíveis das características indicadas.

a) Ao se escolher aleatoriamente um desses prismas, qual a probabilidade de ele ser de plástico, mas não ser da cor azul?

b) Dois prismas quaisquer são distintos em uma, duas, três ou quatro características. Por exemplo, o prisma triangular, de 10 cm de altura, vermelho, feito de plástico, tem três características distintas do prisma pentagonal, de 10 cm de altura, azul, feito de acrílico. Determine quantos prismas nessa caixa são distintos em exatamente duas características do prisma heptagonal, de 20 cm de altura, verde, feito de acrílico.

RESOLUÇÃO (a)

Apesar de termos 4 características, nessa questão vamos trabalhar apenas com as duas características citadas, material e cor.

A probabilidade que procuramos é a que o prisma seja de plástico e não seja azul, vamos calcular essas duas probabilidades separadamente:

\(P(M_P) = \dfrac{1}{2}\)

\(P(C_A) =\dfrac{1}{4} \Rightarrow P(\overline{C_A}) = 1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)

Como essas probabilidades são independentes, teremos:

\(P(M_p \cap \overline{C_A}) = P(M_P) \times P(\overline{C_A})\)

\(P(M_P \cap \overline{C_A}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}\)

Portanto, a probabilidade de se escolher um prisma de plástico mas não ser da cor azul é de \(\dfrac{3}{8}\).

RESOLUÇÃO (b)

As características e o número de opções são:
Material: 2 opções
Altura: 4 opções
Cor: 4 opções
Base: 5 opções

A quantidade de maneiras distintas de se diferenciar por 2 características é dada por \(C_{4,2} = 6\)

Note que devemos ter exatamente 2 características distintas, isso implica que as outras duas características devem ser iguais.
As características iguais não irão influenciar na quantidade pois, nesse caso, teremos apenas uma escolha que é repetir a característica.

Vamos separar os casos pelas características distintas e fazer o produto do número de escolhas em cada caso:
Note que a quantidade de escolhas em cada caso é obtido tirando uma unidade das opções da característica que não queremos repetir.

Material e Altura: \(1\times 3 = 3\)
Material e Cor: \(1 \times 3 = 3\)
Material e Base: \(1 \times 4 = 4\)
Altura e Cor: \(3 \times 3 = 9\)
Altura e Base: \(3 \times 4 = 12\)
Cor e Base: \(3 \times 4 = 12\)

Somando todos os casos:

\(3 + 3 + 4 + 9 + 12 + 12 = \fbox{43}\)

Portanto, concluímos que há 43 prismas nessa caixa que são distintos em exatamente duas características do prisma heptagonal, de 20 cm de altura, verde, feito de acrílico.