Ana e Bia pensaram, de forma aleatória e independentemente uma da outra, em um número inteiro maior do que 1 e menor do que 10. A probabilidade de que a diferença entre esses dois números (considerada nula ou positiva) seja menor do que 2 é
(A) 11/64
(B) 11/32
(C) 15/32
(D) 11/16
(E) 15/64
Resolução:
Inicialmente, vamos determinar os números que podem ser escolhidos. A informação do enunciado nos diz que cada uma pode escolher um número inteiro maior do que 1 e menor do que 10, o que nos dá as possibilidades:
2, 3 ,4 ,5 ,6, 7, 8, 9
Temos 8 possibilidades de escolha para cada uma delas, o que nos dará, a seguinte dimensão de espaço amostral:
\(n(\Omega) =8 \times 8 = 64\)
A diferença entre esses dois números deve ser menor do que 2, então, vamos fixar a primeira escolha sendo a de Ana e depois a de Bia.
1º Caso: Bia pensa no mesmo número que Ana. (A – B = 0)
Neste caso, Ana tem 8 possibilidades e Bia, deve escolher o mesmo número, restringindo sua escolha a 1 possibilidade.
\(8 \times 1 = 8\)
2° Caso: Bia pensa no sucessor da escolha de Ana (A – B = -1)
Neste caso, Ana tem 7 possibilidades, pois o número 9 não terá sucessor no conjunto de possibilidades de escolhas e, novamente, a escolha de Bia se restringe a uma única possibilidade, o sucessor do número de Ana.
\(7 \times 1 = 7\)
3º Caso: Bia pensa no antecessor da escolha de Ana (A – B = 1)
É uma caso similar ao segundo, só que dessa vez o número 2 não terá antecessor no conjunto de possibilidades de escolhas para Ana, que terá 7 opções e, novamente, Bia fica restrita a uma única escolha.
\(7 \times 1 = 7\)
Agora, podemos calcular a probabilidade da diferença entre as escolhas de Ana e Bia serem menores do que 2, vamos chamar esse evento de D, e assim teremos:
\(P(D) = \dfrac{8+2 \times 7}{64}\)
\(P(D) = \dfrac{8+14}{64}\)
\(P(D) = \dfrac{22}{64}\)
Simplificando o numerador e o denominador (ambos pares)
\(P(D) = \dfrac{11}{32}\)
O que nos dá alternativa (B) 11/32 como gabarito.
Visualmente poderíamos criar uma tabela de diferenças modulares, considere a primeira linha escolhas da Ana e a primeira coluna as escolhas da Bia.
| Δ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 3 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 |
| 4 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 5 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 6 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 7 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 8 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Note que temos uma matriz de diferenças modulares 8 por 8 com uma diagonal de 8 elementos com diferença 0 (zero) e 2 diagonais de 7 elementos com diferença 1.
O que nos confirma \(P(D) = \dfrac{8+7+7}{8\times8} = \dfrac{22}{64} = \dfrac{11}{32}\)
Alternativa (B) 11/32
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