Lei dos Cossenos

QUESTÃO 18 O triângulo ABC é isósceles com AB = BC e AC = 4 cm. Seu vértice A pertence à reta r de modo que AB e r são perpendiculares. O triângulo A′B′C′ foi obtido a partir do triângulo ABC por uma translação de 5 cm à direita ao longo da reta r , e o triângulo A′B′′C′′ foi obtido a partir do triângulo A′B′C′ por reflexão em relação à reta r , conforme mostra a figura.

Sabendo que o ângulo BĈA mede 30°, a distância entre os pontos C e C′′ é
(A) \(\sqrt{69}\) cm
(B) \(\sqrt{73}\) cm
(C) \(\sqrt{71}\) cm
(D) \(\sqrt{65}\) cm
(E) \(\sqrt{67}\) cm

O objetivo desta questão é obter a distância entre os pontos C e C”. A estratégia será usar as propriedades das transformações geométricas (translação e reflexão) e a Lei dos Cossenos para encontrar as dimensões de um triângulo retângulo e, por fim, aplicar o Teorema de Pitágoras.

O plano de ataque é o seguinte:

1. Construir o Triângulo Retângulo Principal: A distância que queremos (de C a C”) pode ser vista como a hipotenusa de um grande triângulo retângulo. Um dos catetos é a distância da translação horizontal, que é dada no enunciado como 5 cm. O outro cateto é a distância vertical entre os pontos C’ e C”, que precisaremos calcular.
2. Calcular a Distância entre C’ e C”: Os pontos C’, A’ e C” formam um triângulo. Conhecemos os comprimentos dos lados A’C’ e A’C” (que são iguais ao lado AC do triângulo original) e o ângulo entre eles, que pode ser deduzido a partir das informações do triângulo ABC e da reflexão. Com dois lados e o ângulo entre eles, podemos usar a Lei dos Cossenos para encontrar o comprimento do lado oposto, que é a distância que procuramos.
3. Aplicar o Teorema de Pitágoras: Agora que conhecemos os dois catetos do nosso triângulo retângulo principal (o cateto da translação e o cateto C’C”), podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa, que é a distância final entre C e C”.

Assista ao vídeo acima para ver a dedução dos ângulos, a aplicação da Lei dos Cossenos e o uso do Teorema de Pitágoras para chegar à resposta final.