Qual o valor de \( x^2 \) quando x = 3
Mackenzie Paraná (FEMPAR) Medicina 2026 – Sistema de Equações | Questão 78 Resolvida
Em um laboratório, uma equipe prepara uma solução com quatro compostos: sódio, potássio, cloreto e glicose, com as seguintes condições:
- a soma das massas dos quatro compostos deve corresponder a 900 mg/L;
- a massa de sódio deve ser o dobro da de potássio;
- a massa de cloreto deve ser a soma da massa de sódio e potássio;
- a massa de glicose deve ser igual à de cloreto.
Nessa solução, a massa de sódio por litro é de
(A) 150 mg.
(B) 200 mg.
(C) 250 mg.
(D) 300 mg.
(E) 350 mg.
Resolução
Inicialmente, vamos dar uma letra para cada substância e, com isso, montar um sistema de equações:
s: para sódio
p: para potássio
c: para cloreto e
g: para glicose
Agora vamos traduzir cada informação em equações:
- a soma das massas dos quatro compostos deve corresponder a 900 mg/L;
- a massa de sódio deve ser o dobro da de potássio;
- a massa de cloreto deve ser a soma da massa de sódio e potássio;
- a massa de glicose deve ser igual à de cloreto.
Temos o sistema:
\(\begin{cases} s + p + c + g = 900 \\ s = 2p \\ c = s + p \\ g = c \end{cases}\)
A partir de agora vou fazer essa resolução por 2 modos diferentes.
Modo I
Vamos escrever todas as variáveis em função de s, que é o objetivo da questão.
\(s = 2p \Rightarrow p= \dfrac{s}{2}\)
\(c = s + p \Rightarrow c = s + \dfrac{s}{2}\)
\(c = \dfrac{3s}{2}\)
\(g = c \Rightarrow g = \dfrac{3s}{2}\)
Usando a primeira equação: \(s + p + c + g = 900\) e com as devidas substituições, teremos:
\(s + \dfrac{s}{2} + \dfrac{3s}{2} +\dfrac{3s}{2} = 900\)
Lembre-se que podemos escrever \(s = \dfrac{2s}{2}\)
\(\dfrac{2s}{2} + \dfrac{s}{2} + \dfrac{3s}{2} +\dfrac{3s}{2} = 900\)
\(\dfrac{2s + s + 3s + 3s}{2} = 900\)
\(\dfrac{9s}{2} = 900\)
\(s = \dfrac{2 \cdot 900}{9}\)
\(s = 2\cdot 100 \Rightarrow s = \fbox{200}\)
O que nos dá a alternativa: (B) 200 mg.
Modo II
Vamos manipular as variáveis com relações mais fáceis antes de chegar em s.
Na equação \((s + p) + c + g = 900\)
Sabendo que \(c = (s+p) \) e \(c = g\), podemos escrever
\(c + c +c = 900\)
\(3c = 900 \)
\(c = \dfrac{900}{3} \Rightarrow c = 300\)
Agora, usamos que \(s = 2p\) em \(c = s +p\), o que nos dá:
\(300 = 2p + p \)
\(3p = 300\)
\(p = \dfrac{300}{3} \Rightarrow p = 100\)
Finalmente, podemos usar a equação \(s =2p\) e, obter a resposta final:
\(s = 2 \cdot 100\)
\(s = \fbox{200}\)
Confirmando a resposta de gabarito: (B) 200 mg.
Mackenzie Paraná (FEMPAR) Medicina 2026 – Lei dos Cossenos | Questão 77 Resolvida
Durante um experimento de modelagem biomecânica, uma equipe estuda o movimento de uma agulha inserida em um tecido biológico, formando um triângulo com três pontos de referência: o ponto de inserção (A), a extremidade da agulha (B) e um marcador no tecido (C).
Os lados AB, AC e BC desse triângulo são tais que:
- as medidas de AB, AC e BC, nessa ordem, são números inteiros ímpares consecutivos;
- o ângulo BÂC mede 120°.
O perímetro desse triângulo, em centímetros, é
(A) 23.
(B) 21.
(C) 19.
(D) 17.
(E) 15.
Nessa questão, vamos dar uma resolução clássica e em seguida fazer algumas análises baseadas nas informações do problema e as alternativas oferecidas no gabarito, o foco desse site é não só trazer resoluções, mas sim ensinar Matemática e compartilhar as minhas estratégias de resolução.
Resolução Direta:
A diferença entre dois ímpares consecutivos é igual a 2, dessa forma, vamos adotar as seguintes medidas para os lados do triângulo ABC:
- AB = n
- AC = n+2
- BC = n+4
Agora, vamos aplicar a lei dos cossenos para obter o valor de n.
\((n+4)^2 = n^2 + (n+2)^2 -2 \cdot n \cdot (n+2) \cdot \cos 120^{\circ}\)
Desenvolvendo os quadrados e lembrando que \(\cos 120^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\)
\(n^2 + 8n + 16 = n^2 + n^2 + 4n + 4 – 2 \cdot (n^2 + 2 n) \cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right)\)
\(n^2 + 8n + 16 = 2 n^2 + 4n + 4 + n^2 + 2 n\)
\(n^2 + 8n + 16 = 3 n^2 + 6n + 4 \)
\(0 = 3 n^2 + 6n + 4 – n^2 -8n -16 \)
\(2 n^2 -2n -12 = 0 \)
Dividindo a equação por 2:
\(n^2 – n – 6 = 0\)
Para resolver essa equação do segundo grau, vamos utilizar o método da Soma e Produto.
Temos: \(\begin{cases} S = 1 \\ P = -6 \end{cases}\)
Lembrando que n é um número ímpar e inteiro, vamos testar os divisores ímpares de 6.
\(\textbf{P: } 1 \cdot (-6) = – 6 \to \textbf{S: }1 + (-6) = – 5\) ❌
\(\textbf{P: } 3 \cdot (-2) = – 6 \to \textbf{S: }3 + (-2) = 1\) ✅
Sabemos que n = 3, com essa informação, podemos obter o perímetro:
- AB = n = 3
- AC = n + 2 = 3 + 2 = 5
- BC = n + 4 = 3 + 4 = 7
O perímetro do triângulo ABC será
2p = 3 + 5 + 7 = 15 cm.
Alternativa (E) 15.
Resoluções por Alternativas
Uma outra abordagem para essa questão seria a seguinte.
Observando o triângulo o perímetro será dado por:
2p = n + n + 2 + n + 4 = 3n + 6 = 3 (n + 2)
A informação que obtemos observando o perímetro obtido é que ele é um múltiplo de 3, com isso, vamos observar as alternativas.
(A) 23.
(B) 21.
(C) 19.
(D) 17.
(E) 15.
Apenas duas delas, (B) e (E) são múltiplas de 3.
Vamos testar essas duas alternativas:
Testando a alternativa (B) 21.
\(3(n+2) = 21\)
\(n+2 = \dfrac{21}{3}\)
\(n = 7 -2 \to n = \fbox{5}\)
Isso nos dá:
- AB = n = 5
- AC = n + 2 = 5 + 2 = 7
- BC = n + 4 = 5 + 4 = 9
Aplicando a lei dos cossenos, teremos:
\(9^2 = 5^2 + 7^2 – 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 120^{\circ}\)
\(81 = 25 + 49 – 2 \cdot 35 \cdot \left( – \dfrac{1}{2} \right) \)
\(81 = 74 + 35 \)
\(81 = 109\) ❌ Falsidade.
Agora, por eliminação, uma pessoa muito confiante marcaria a alternativa (E) e seguiria em frente, mas como temos um compromisso didático vamos desenvolver os cálculos para essa alternativa.
Testando a alternativa (E) 15.
\(3(n+2) = 15\)
\(n+2 = \dfrac{15}{3}\)
\(n = 5 -2 \to n = \fbox{3}\)
Isso nos dá:
- AB = n = 3
- AC = n + 2 = 3 + 2 = 5
- BC = n + 4 = 3 + 4 = 7
Aplicando a lei dos cossenos, teremos:
\(7^2 = 3^2 + 5^2 – 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^{\circ}\)
\(49 = 9 + 25 – 2 \cdot 15 \cdot \left( – \dfrac{1}{2} \right) \)
\(49 = 34 + 15 \)
\(49 = 49\) ✅ Verdade
O que confirma a alternativa (E) 15. como resposta de gabarito.
Uma última observação nessa questão, utilizando o fato da multiplicidade por 3 obtidos na análise anterior, temos 2 casos para os lados do triângulo.
O triângulo ABC tem um ângulo de 120°, isso significa que ele é um triângulo obtusângulo e se testarmos as alternativas, veja o que acontece:
Na alternativa (B) 21.
Lados 5, 7 e 9
\(9^2 \quad ? \quad 5^2 + 7^2\)
\(81 \quad ? \quad 25 + 49\)
\(81 < 74 \to \) Triângulo Acutângulo
Na alternativa (E) 15.
Lados 3, 5 e 7
\(7^2 \quad ? \quad 3^2 + 5^2\)
\(49 \quad ? \quad 9 + 25\)
\(49 > 34 \to \) Triângulo Obtusângulo
O que, mais uma vez confirma alternativa (E) 15.
Mackenzie Paraná (FEMPAR) Medicina 2026 – Conversão Cambial | Questão 76 Resolvida
O mercado de câmbio, conhecido como Forex (Foreign Exchange), é um dos maiores mercados financeiros do mundo. Nele, moedas são negociadas 24 horas por dia, cinco dias por semana, e suas taxas de câmbio flutuam constantemente.
A arbitragem cambial é uma estratégia que busca lucrar com pequenas diferenças nas taxas de câmbio de moedas. Nessa estratégia, um investidor realiza uma sequência rápida de operações de compra e venda, aproveitando essas disparidades para obter um lucro sem risco, pois as operações são simultâneas ou quase simultâneas.
Um investidor notou as seguintes cotações de moedas em um determinado momento:
- Taxa 1 (de Dólar para Real): US$ 1,00 = R$ 5,46
- Таха 2 (de Euro para Real): € 1,00 = R$ 6,25
- Taxa 3 (de Euro para Dólar): € 1,00 = US$ 1,15
Esse investidor gastou US$ 10.000,00 comprando reais. Em seguida, gastou todo o montante obtido em reais comprando euros e, finalmente, gastou todo o montante obtido em euros comprando dólares. As operações de câmbio foram realizadas quase simultaneamente e nas taxas apresentadas acima.
Nessa sequência de operações, o investidor
(A) teve lucro de US$ 46,40.
(B) teve lucro de US$ 36,00.
(C) não teve lucro e nem prejuízo.
(D) teve prejuízo de US$ 36,00.
(E) teve prejuízo de US$ 56,00.
Resolução
Vale lembrar a seguinte regra:
1 unidade da Moeda A vale X unidades da Moeda B
Conversão de A para B: Multiplicamos valor de A por X.
Conversão de B para A: Dividimos valor de B por X.
Nessa questão, vamos partir do valor US$ 10.000,00 e fazer cada uma das conversões indicadas.
Primeira Conversão: Dólar para Real
US$ 1,00 = R$ 5,46 (Conversão por multiplicação)
\(10000 \times 5,46 = 54600 \to \) US$ 10.000,00 = R$ 54.600,00
Segunda Conversão: Real para Euros
€ 1,00 = R$ 6,25 (Conversão por divisão)
\(54600 \div 6,25 = 8736 \to \) R$ 54.600,00 = € 8.736,00
Terceira Conversão: Euros para Dólar
€ 1,00 = US$ 1,15 (Conversão por multiplicação)
\(8736 \times 1,15 = 10046,40 \to\) € 8.736,00 = US$ 10.046,40
Agora, notando que o investidor ficou com um valor maior que o inicial, vamos calcular o seu lucro, ou seja, o que ele auferiu a mais da quantia inicial.
US$ 10.046,40, – US$ 10.000,00 = US$ 46,40.
Alternativa (A) teve lucro de US$ 46,40.
Mackenzie Paraná (FEMPAR) Medicina 2026 – Probabilidade Condicional | Questão 75 Resolvida
Uma pesquisa realizada em Curitiba com 1.000 jovens entre 16 e 25 anos, investigou a adesão à vacina contra o HPV, um tema relevante para a saúde preventiva. A tabela a seguir mostra a distribuição dos entrevistados por gênero e se tomaram ou não a vacina.
A probabilidade de um jovem escolhido ao acaso ser do gênero feminino, dado que tal jovem não tomou a vacina é
(A) 4/5.
(B) 3/5.
(C) 2/5.
(D) 2/3.
(E) 1/3.
Resolução
Em uma questão de probabilidade é importante entender qual é o espaço amostral e os eventos associados a este espaço.
No caso desta questão, o espaço amostral são os 1000 jovens e temos os eventos F para sexo feminino, M para sexo masculino e V para os jovens que tomaram a vacina.
O enunciado pede uma probabilidade condicional indicada por \(P(F | \overline{V})\), onde \(\overline{V} \) indica o complementar do evento tomar a vacina, ou seja, não tomaram a vacina.
Pela fórmula, teremos: \(P(F | \overline{V}) = \dfrac{P(F \cap \overline{V})}{P (\overline{V})}\)
Sendo \(P(F \cap \overline{V}) = \dfrac{150}{1000} = 0,15\) e \(P(\overline{V}) = \dfrac{450}{1000}=0,45\).
Daí, teremos:
\(P(F | \overline{V}) = \dfrac{P(F \cap \overline{V})}{P (\overline{V})} = \dfrac{0,15}{0,45} = \dfrac{1}{3}\)
Essa resolução foi feita com foco na fórmula de probabilidade condicional, mas podemos pensar de outra maneira para resolver essa questão.
Se queremos saber qual a probabilidade de um jovem escolhido ao acaso ser do gênero feminino, dado que tal jovem não tomou a vacina, temos uma redução do espaço amostral, ao invés de pensarmos nos 1000 jovens, ficamos restritos ao 450 que não tomaram a vacina e dentre estes, 150 são do sexo feminino, conforme podemos observar na tabela:
Isso nos dará:
\(P(F | \overline{V}) = \dfrac{150}{450} = \dfrac{1}{3}\)
O que nos leva ao gabarito: Alternativa (E) 1/3.
Nota do professor: A tabela disponível na prova da FEMPAR cometeu um pequeno erro na célula do Total, deveria ser 1000, mas colocaram 100. Como o enunciado é claro em dizer que a pesquisa foi feita com 1000 jovens e os totais marginais 500 + 500 = 1000 e 550 + 450 = 1000, podemos considerar que esse erro não compromete a questão.
Mackenzie Paraná (FEMPAR) Medicina 2026 | Questão 74 Resolvida
Para descrever a taxa de aparecimento de glicose na circulação sistêmica ao longo do tempo após uma refeição, são empregados modelos matemáticos robustos. Diferentemente de funções polinomiais ou exponenciais simples, que não capturam a fase de declínio, funções na forma
\(A(t) = M \cdot t^{\alpha} \cdot e^{\beta \cdot t}\),
com t ≥ 0 sendo o tempo contado a partir do início da absorção efetiva de glicose de uma refeição, e M, α, β e e constantes reais, são mais adequadas por combinar crescimento e decaimento exponencial.
Considere esse modelo para estimar a taxa de aparecimento de glicose, com t em minutos e A em mg/min, tal que
\(A(16) = 1000 \cdot e^{-0,32}\)
\(A(25) = 1250 \cdot e^{-0,50}\)
Sabendo que e é a constante de Euler, se α = 0,5, é correto afirmar que a taxa de aparecimento de glicose estimada, em mg/min, 100 minutos após o início da absorção efetiva é
(A) \(2500 \cdot e^{-0,18}\)
(B) \(2500 \cdot e^{-0,82}\)
(C) \(2500 \cdot e^{-1}\)
(D) \(2500 \cdot e^{-2}\)
(E) \(2500 \cdot e^{-2,5}\)
Resolução
Precisamos descobrir os valores das constantes M e β, uma vez que o valor de α = 0,5 já foi informado no enunciado.
Utilizando a fórmula: \(A(t) = M \cdot t^{\alpha} \cdot e^{\beta \cdot t}\), temos:
\(A(16) = M \cdot 16^{0,5} \cdot e^{\beta \cdot 16}\)
Lembre-se que \(16^{0,5} = \sqrt{16} = 4\)
Isso nos dará:
\(A(16) = 4 \cdot M \cdot e^{\beta \cdot 16}\)
Usando a informação do enunciado:
\(A(16) = 1000 \cdot e^{-0,32}\)
Podemos trabalhar com a igualdade:
\(4 \cdot M \cdot e^{\beta \cdot 16} = 1000 \cdot e^{-0,32}\)
Teremos, então:
\(4\cdot M = 1000\)
\(M = \dfrac{1000}{4} \Rightarrow M = \fbox{250}\)
E, também:
\(e^{\beta \cdot 16} = e^{-0,32}\)
\(16 \cdot \beta = -0,32\)
\(\beta = \dfrac{-0,32}{16} \Rightarrow \beta = -0,02\)
A função pode ser reescrita como:
\(A(t) = 250 \cdot t^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot t}\)
Agora, para finalizar a questão, iremos calcular A(100).
\(A(100) = 250 \cdot 100^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot 100}\)
Lembrando que \(100^{0,5} = \sqrt{100} = 10\), temos:
\(A(100) = 250 \cdot 10 \cdot e^{-2}\)
\(A(100) = 2500 \cdot e^{-2}\)
O que nos dá,como alternativa de gabarito: (D) \(2500 \cdot e^{-2}\)
Observação:
No momento que reescrevemos a função como:
\(A(t) = 250 \cdot t^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot t}\)
Poderíamos verificar que outra informação do enunciado \(A(25) = 1250 \cdot e^{-0,50}\) é consistente.
De fato,
\(A(25) = 250 \cdot 25^{0,5} \cdot e^{-0,02 \cdot 25}\)
\(A(25) = 250 \cdot 5 \cdot e^{-0,50}\)
\(A(25) = 1250 \cdot e^{-0,50}\)
Porém, esse desenvolvimento não traz nenhuma informação nova para o objetivo final da questão e nos toma tempo, que é um artigo de luxo em provas de vestibulares.