Uma caixa contém prismas regulares, todos distintos entre si em relação a quatro características: o material de que são feitos (plástico ou acrílico), sua altura (10 cm, 15 cm, 20 cm ou 25 cm), sua cor (amarela, azul, verde ou vermelha) e o polígono que forma sua base (triângulo, quadrado, pentágono, hexágono ou heptágono). As arestas das bases desses prismas têm a mesma medida, e a caixa contém prismas com todas as combinações possíveis das características indicadas.
a) Ao se escolher aleatoriamente um desses prismas, qual a probabilidade de ele ser de plástico, mas não ser da cor azul?
b) Dois prismas quaisquer são distintos em uma, duas, três ou quatro características. Por exemplo, o prisma triangular, de 10 cm de altura, vermelho, feito de plástico, tem três características distintas do prisma pentagonal, de 10 cm de altura, azul, feito de acrílico. Determine quantos prismas nessa caixa são distintos em exatamente duas características do prisma heptagonal, de 20 cm de altura, verde, feito de acrílico.
RESOLUÇÃO (a)
Apesar de termos 4 características, nessa questão vamos trabalhar apenas com as duas características citadas, material e cor.
A probabilidade que procuramos é a que o prisma seja de plástico e não seja azul, vamos calcular essas duas probabilidades separadamente:
\(P(M_P) = \dfrac{1}{2}\)
\(P(C_A) =\dfrac{1}{4} \Rightarrow P(\overline{C_A}) = 1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)
Como essas probabilidades são independentes, teremos:
\(P(M_p \cap \overline{C_A}) = P(M_P) \times P(\overline{C_A})\)
\(P(M_P \cap \overline{C_A}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}\)
Portanto, a probabilidade de se escolher um prisma de plástico mas não ser da cor azul é de \(\dfrac{3}{8}\).
RESOLUÇÃO (b)
As características e o número de opções são:
Material: 2 opções
Altura: 4 opções
Cor: 4 opções
Base: 5 opções
A quantidade de maneiras distintas de se diferenciar por 2 características é dada por \(C_{4,2} = 6\)
Note que devemos ter exatamente 2 características distintas, isso implica que as outras duas características devem ser iguais.
As características iguais não irão influenciar na quantidade pois, nesse caso, teremos apenas uma escolha que é repetir a característica.
Vamos separar os casos pelas características distintas e fazer o produto do número de escolhas em cada caso:
Note que a quantidade de escolhas em cada caso é obtido tirando uma unidade das opções da característica que não queremos repetir.
Material e Altura: \(1\times 3 = 3\)
Material e Cor: \(1 \times 3 = 3\)
Material e Base: \(1 \times 4 = 4\)
Altura e Cor: \(3 \times 3 = 9\)
Altura e Base: \(3 \times 4 = 12\)
Cor e Base: \(3 \times 4 = 12\)
Somando todos os casos:
\(3 + 3 + 4 + 9 + 12 + 12 = \fbox{43}\)
Portanto, concluímos que há 43 prismas nessa caixa que são distintos em exatamente duas características do prisma heptagonal, de 20 cm de altura, verde, feito de acrílico.
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