Um cubo de aresta 3 cm tem uma face que é a base de uma pirâmide de vértice V, conforme mostra a figura.
Observando que uma aresta lateral da pirâmide é perpendicular à sua base e sabendo que a razão entre os volumes da pirâmide e do cubo é igual a \(\dfrac{4}{9}\) , a medida da aresta VA é
(A) \(5 \sqrt{2}\)cm
(B) \(6 \) cm
(C) \(3 \sqrt{3}\)cm
(D) \(5 \) cm
(E) \(3 \sqrt{2}\)cm
Resolução
Vamos denominar de B o vértice da pirâmide que, juntamente com o vértice V, determinam a aresta lateral perpendicular à base da pirâmide.
Os vértices V, B e A, formam um triângulo retângulo, o lado VA é justamente a hipotenusa desse triângulo e o lado BA mede 3 cm.
A estratégia será descobrir a medida do veŕtice VB e aplicando o teorema de Pitágoras obter a medida da aresta VA.
Calculando o volume da pirâmide e do cubo:
\(V_p = \dfrac{1}{3}[ 3^2 \cdot (VB)] = \dfrac{9 \cdot VB}{3} = 3 \cdot(VB)\)
\(V_c = 3^3 = 27\)
A razão entre os volumes da pirâmide e do cubo é \(\dfrac{4}{9}\), sendo assim:
\(\dfrac{3 \cdot(VB)}{27} = \dfrac{4}{9}\)
Simplificando o lado esquerdo da equação:
\(\dfrac{(VB)}{9} = \dfrac{4}{9}\)
Multiplicando ambos os lados da equação por 9
\((VB) = 4\)
Isso nos dá um triângulo retângulo com catetos (VB) = 4 e (BA) = 3.
Nesse momento, podemos finalizar a questão lembrando do mais conhecido terno pitagórico (3,4,5), ou aplicar e desenvolver o teorema de Pitágoras:
\((VA)^2 = 3^2 + 4^2\)
\((VA)^2 = 9+16\)
\((VA)^2 = 25\)
\((VA) = \sqrt{25}\)
\((VA) = \fbox{5}\)
Alternativa (D) 5 cm
