Matemática para Vestibulares

Foco em Medicina

Mackenzie Paraná (FEMPAR) Medicina 2026 – Princípio da Casa dos Pombos | Questão 73 Resolvida

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Para facilitar o atendimento em uma clínica, os pacientes são identificados por sintomas. A clínica identificou 6 sintomas distintos em um grupo formado por N pacientes.
Sabe-se que cada paciente desse grupo apresenta apenas um dos 6 sintomas.
Considere a declaração:
“Nesse grupo, pelo menos 4 pacientes apresentam o mesmo sintoma.”
Para que essa afirmação seja verdadeira,

(A) é necessário que N seja maior que 24.
(B) é necessário que N seja igual a 24.
(C) é suficiente que N seja igual a 19.
(D) é suficiente que N seja igual a 9.
(E) é suficiente que N seja igual a 4.

Resolução

Essa questão é uma aplicação prática do Princípio da Casa dos Pombos.

Imagine que cada paciente é encaminhado a uma sala de acordo com o seu sintoma e, mais ainda, queremos um caso extremo com a maior quantidade de pacientes possíveis sem que 4 pacientes apresentem o mesmo sintoma.

Nessa situação hipotética, podemos colocar 3 pacientes em cada uma das 6 salas e, nesse caso, a clínica já teria \(3\cdot 6 = 18\) pacientes alocados nessas salas.

Infográfico sobre o Princípio da Casa dos Pombos aplicado à Questão 73 da FEMPAR Medicina 2026. A imagem mostra 6 compartimentos com 3 itens cada, totalizando 18 itens (caso extremo), e uma seta indicando a entrada do 19º item que garante a presença de 4 itens no mesmo container.

Agora é o momento que define o resultado, se chegar um único paciente nessa clínica, este terá que ser alocado em uma sala e, qualquer sala que seja já possui 3 pacientes com o mesmo sintoma e esse único paciente será o quarto paciente com o mesmo sintoma.

Dessa forma, para garantir que pelo menos 4 pacientes possuam o mesmo sintoma, é suficiente termos \(3 \cdot 6 + 1 = 18 + 1 = \fbox{19}\) pacientes.

Então, de acordo com o Princípio da Casa dos Pombos, temos como resposta de gabarito a alternativa (C) é suficiente que N seja igual a 19.

Um comentário sobre as alternativas

Quando temos uma afirmação condicional do tipo Se A, então B, chamamos A de condição Suficiente e B de Condição Necessária.

No caso dessa questão, podemos reescrever as alternativas de acordo com o enunciado e teríamos:

(A) Se pelo menos menos 4 pacientes apresentam o mesmo sintoma, então N é maior do que 24.
(B) Se pelo menos menos 4 pacientes apresentam o mesmo sintoma, então N é igual a 24.
(C) Se N é igual a 19, então pelo menos menos 4 pacientes apresentam o mesmo sintoma.
(D) Se N é igual a 9, então pelo menos menos 4 pacientes apresentam o mesmo sintoma.
(E) Se N é igual a 4, então pelo menos menos 4 pacientes apresentam o mesmo sintoma.

As alternativas A e B são facilmente descartadas, pois há possibilidade de termos 4 pacientes com o mesmo sintoma com menos do que 24 pacientes e as alternativas D e E são descartadas pois podemos ter 9 ou 4 pacientes sem que haja 4 pacientes com o mesmo sintoma, já a alternativa C é garantida pelo princípio da casa dos pombos, conforme vimos no desenvolvimento acima.

Mackenzie Paraná (FEMPAR) Medicina 2026 – Interpretação de Gráficos Estatísticos | Questão 72 Resolvida

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Durante uma semana de triagem em uma Unidade Básica de Saúde (UBS), registraram-se os tempos de atendimento de T pacientes.
A tabela a seguir mostra a frequência acumulada relativa desses tempos.

Gráfico de colunas representando a frequência acumulada relativa de tempos de atendimento. Destaque para a zona entre 15 e 25 minutos e a relação matemática para encontrar o total T de pacientes. Questão FEMPAR Medicina 2026.


Sabe-se que os atendimentos com mais de 20 minutos totalizaram 54 registros.
A quantidade de atendimentos com duração maior do que 15 minutos e, no máximo, 25 minutos, foi

(A) 88.
(B) 84.
(C) 80.
(D) 76.
(E) 70.

Resolução

Essa questão envolve a análise de um gráfico de colunas de frequências acumuladas.
Como o enunciado informa que os atendimentos com mais de vinte minutos totalizaram 54 registros, vamos buscar no gráfico essa informação e, com ela, determinar o total T de atendimentos.

A coluna com tempo de atendimento até 20 minutos, traz no seu topo a frequência acumulada igual a 11T/20,isso significa que acima de 20 minutos teremos T – 11T/20 atendimentos.

\(T – \dfrac{11T}{20} = 54\)

\(\dfrac{20T – 11T}{20} = 54\)

\(\dfrac{9T}{20} = 54\)

\(T = \dfrac{20 \cdot 54}{9}\)

Como \(54 \div 9 = 6\), temos:

\(T = 20 \cdot 6\)

\(T = \fbox{120}\)

Como queremos a quantidade de atendimentos com duração maior do que 15 minutos e, no máximo, 25 minutos, vamos buscar no gráfico o limite inferior, que é a frequência acumulada até 15 e o limite superior, que é a frequência acumulada até 25.

Tempo (min)Frequência Acumulada
até 153T/20
até 2517T/20

Calculando, em termos de T essa diferença, teremos:

\(\dfrac{17T}{20} – \dfrac{3T}{20} = \dfrac{17T – 3T}{20} = \dfrac{14T}{20}\)

E substituindo T por 120:

\(\dfrac{14T}{20} = \dfrac{14 \cdot 120}{20} = 14 \cdot 6 = \fbox{84}\)

O que nos dá:

Alternativa (B) 84.

Alternativamente, usando T = 120, podemos calcular o valor numérico dessas duas frequências acumuladas:

\(\dfrac{3T}{20} = \dfrac{3 \cdot 120}{20} = \dfrac{360}{20} = \fbox{18}\)

\(\dfrac{17T}{20} = \dfrac{17 \cdot 120}{20} = \dfrac{2040}{20} = \fbox{102}\)

A quantidade de atendimentos no período é a diferença entre esses dois valores:

\(102 – 18 = \fbox{84}\)

O que confirma a nossa resposta de gabarito (B) 84.

Mackenzie Paraná (FEMPAR) Medicina 2026 – Função Quadrática | Questão 71 Resolvida

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A complacência pulmonar é uma medida usada em fisiologia respiratória para avaliar a capacidade dos pulmões de se expandirem quando submetidos a uma pressão. Em certos modelos simplificados, a pressão P, em mm de Hg, exercida nos pulmões está relacionada ao volume de ar inalado pela função válida para valores reais de x tais que x ∈ [0,1]:

P(x) = 12x − 12x²,

em que x representa o volume extra de ar inalado além do volume de repouso, em litros.
De acordo com esse modelo, é correto afirmar que a pressão máxima atingida é de

(A) 3,0 mmHg, quando x = 0,5 litro.
(B) 3,0 mmHg, quando x = 1 litro.
(C) 4,5 mmHg, quando x = 0,75 litro.
(D) 6,0 mmHg, quando x = 0,5 litro.
(E) 6,0 mmHg, quando x = 1 litro.

Resolução

O gráfico da função P(x) = 12x − 12x² é uma parábola com concavidade para baixo.
Como queremos a pressão máxima, vamos descobrir o vértice dessa parábola e verificar se não há conflito com a restrição x ∈ [0,1].

Sabemos que \(x_v = \dfrac{-b}{2a}\) e os coeficientes de P(x) são: \(\begin{cases} a = -12 \\b = 12 \\ c = 0 \end{cases}\)

Sendo assim, teremos:

\(x_v = \dfrac{-12}{2 \cdot (-12)}\)

\(x_v = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x_v = \fbox{0,5}\)

Podemos usar esse resultado pois não há problema com a restrição de x, visto que \(0,5 \in [0,1]\)

Temos a fórmula: \(y_v = – \dfrac{\Delta}{4a}\), mas ela é desnecessária quando sabemos a abscissa do vértice, dessa maneira, para obtermos yv , basta calcularmos o valor de P(xv), com xv = 0,5.

\(P(0,5) = 12 \cdot (0,5) – 12 \cdot (0,5)^2\)

\(P(0,5) = 6,0 – 12 \cdot (0,25)\)

\(P(0,5) = 6,0 – 3,0\)

\(P(0,5) = \fbox{3,0}\)

Observe no gráfico o comportamento de P(x) e seu veŕtice V(0,5; 3,0).

Gráfico da parábola P(x) = 12x - 12x² com vértice em V(0,5; 3,0) e domínio restrito entre 0 e 1 - Resolução Matemática FEMPAR 2026.
Comportamento da pressão P(x) destacando o ponto de máximo e a restrição do domínio.

Como x é dado em litros e P é a pressão em mm Hg, a pressão máxima é atingida no vértice da parábola e isso resulta em 3,0 mmHg, quando x = 0,5 litro.
Alternativa (A)

Uni-FACEF Medicina 2026 – Progressão Aritmética | Questão 10 Resolvida

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Os números 8 e 107 são os extremos de uma progressão aritmética (PA) de razão inteira e positiva. Sabendo que essa PA tem mais de 20 termos e menos de 50 termos, seu trigésimo primeiro termo é

(A) 95.
(B) 88.
(C) 84.
(D) 91.
(E) 98.

Resolução

Iniciamos a resolução dessa questão calculando a diferença 107 – 8 = 99.

Essa informação será usada para obtermos a razão dessa PA. Como temos uma diferença entre o primeiro e o último termo igual a 99 e sabendo que a razão é inteira e positiva, a razão será um divisor de 99.

D(99) = {1, 3, 9, 11, 33, 99}

A quantidade de termos de acordo com as possíveis razões obtidas entre os divisores de 99 é igual ao resultado da divisão de 99 pela razão somado com 1. (Essa relação em que adicionamos 1 ao quociente, pode parecer anti-intuitiva, mas pense no caso extremo da razão ser 99, nesse caso teríamos dois termos o 8 e 8+99 = 107).

Vamos colocar a quantidade de termos em forma de tabela:

Razão(99 ÷ Razão)Nº Termos
199÷1=99100
399÷3=3334
999÷9=1112
1199÷11=910
3399÷33=34
9999÷99=12

Com essa tabela e, sabendo que a PA tem mais de 20 e menos que 50 termos, podemos afirmar que essa PA tem razão igual a três.

Usando a fórmula \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\) e sabendo que: \(\begin{cases} n = 31 \\ a_1 = 8 \\ r =3 \end{cases}\).

Teremos:

\(a_{31} = 8 + (31-1) \cdot 3\)

\(a_{31} = 8 + (30) \cdot 3\)

\(a_{31} = 8 +90 = \fbox{98}\)

Portanto, o trigésimo primeiro termo dessa PA é o número 98.

UNIFESP 2026 – Geometria Plana | Questão 20 Resolvida

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Um quadrado ABCD foi dividido em dois retângulos, em um quadrado Q1 e em um quadrado Q2, tal que a diagonal AC do quadrado passe pelo vértice em comum de Q1 e Q2, conforme a figura.

Quadrado ABCD dividido em dois retângulos e dois quadrados Q1 e Q2, com a diagonal AC passando pelo vértice comum de Q1 e Q2. Questão de Geometria Plana UNIFESP 2026.


a) Se a área do quadrado Q2 for o dobro da área do quadrado Q1, qual será o valor de tg α?

b) Se a medida de α for igual a 60° e a área do quadrado Q1 for 48 cm², qual será o perímetro do quadrado ABCD?

Resolução (a)

Vamos chamar de L2 o lado do quadrado Q2 e L1 o lado do quadrado Q1, conforme podemos observar na figura.

Diagrama geométrico mostrando os lados L1 e L2 dos quadrados Q1 e Q2, o ângulo α e a relação trigonométrica tg α = L2/L1 para a resolução da UNIFESP 2026.

Usando razão de semelhança, temos \(\dfrac{L_2}{L_1} = K\)

A razão entre as áreas dos quadrados é dada por \(\dfrac{AQ_2}{AQ_1} = K^2\)

Usando que \(AQ_2 = 2 \cdot AQ_1\), temos:

\(\dfrac{AQ_2}{AQ_1} = \dfrac{2\cdot AQ_1}{AQ_1} = 2\)

Logo, \(K^2 = 2\) e, portanto \(K = \sqrt{2}\)

Voltando à figura, podemos notar que o ângulo α faz parte de um triângulo retângulo onde L2 é o cateto oposto e L1 o cateto adjacente a este ângulo α.

Isso nos dará a seguinte relação:

\(\textrm{tg }\alpha = \dfrac{L_2}{L_1}\)

\(\textrm{tg }\alpha = K\)

\(\textrm{tg }\alpha = \sqrt{2}\)

Resolução (b)

Vamos utilizar as mesmas notações do item (a).

Como o lado do quadrado ABCD é dado por L1+L2, teremos que seu perímetro é dado por 4(L1 + L2).

Vamos utilizar as seguintes relações:

\(AQ_1 = 48 \Rightarrow L_1 = \sqrt{48}\)

\(L_1 = 4 \cdot \sqrt{3}\)

\(\textrm{tg }\alpha = \dfrac{L_2}{L_1}\)

\(\textrm{tg }60^{\circ} = \sqrt{3} \to \textrm{tg }\alpha = \sqrt{3}\)

Temos então:

\(\dfrac{L_2}{4 \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{3}\)

\(L_2 = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\)

\(L_2 = 12\)

Sabendo as medidas de L1 e L2, podemos calcular o perímetro do quadrado ABCD:

\(2p = 4\cdot (4 \cdot \sqrt{3} + 12)\)

\(2p = 16\cdot \sqrt{3} + 48 \text{ cm}\).

Observação: Em geometria utilizamos as seguintes notações:
p = semiperímetro
2p = perímetro

UNIFESP 2026 – Imagem de uma Função e Função Quadrática | Questão 19 Resolvida

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Sejam a, b, c e p constantes reais. A lei de formação de uma função \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e seu respectivo gráfico são dados a seguir:

\(f(x) = \begin{cases} – x+2, \qquad\text{se } x<p \\ x- 6, \qquad \text{se } p \leq x < 9 \\ ax^2 + bx + c, \qquad \text{se } x \geq 9 \end{cases}\)

Gráfico de função definida por partes composta por uma reta decrescente para x menor ou igual a p e uma parábola para x maior que p. Interseção das funções no ponto de abscissa p - UNIFESP 2026

a) Sabendo que os gráficos das funções \(g(x) = -x + 2\) e \(h(x) = x – 6\) se intersectam no ponto de abscissa p, determine a imagem de f.


b) Sabendo que f(9) = 3, determine f(21).

Resolução (a)

Para obtermos a imagem de f, devemos observar que tanto para \(x < p\) como para \(x \geq 9\) o gráfico da função cresce infinitamente, sendo assim, devemos procurar o valor mínimo da função de f, que ocorre para x = p.

Para obtermos o valor de p, vamos obter a intersecção de g(x) com h(x).

\(-x + 2 = x – 6\)

\(– x – x = – 6 – 2\)

\(-2x = -8 \Rightarrow 2x = 8\)

\(x = \dfrac{8}{2}\)

\(x = \fbox{4}\)

Agora, calculamos \(f(4) = -4 + 6 = -2\)

Concluímos que o valor mínimo da função f é -2 e, consequentemente, sua imagem será:

\(Im_f =\{ y \in \mathbb{R} | y \geq -2\}\)

Resolução (b)

A função quadrática \(f(x) = ax^2 +bx + c\) pode ser reescrita na forma canônica da seguinte maneira:

\(f(x) = a(x – x_v)^2 + y_v\)

Observando, pelo gráfico, que o vértice da parábola é o ponto V(12,0), a função fica:

\(f(x) = a (x – 12)^2 + 0\)

Como é informado que f(9) = 3, temos:

\(a(9-12)^2 = 3\)

\(a(-3)^2 = 3\)

\(9a = 3\)

\(a = \dfrac{3}{9} \Rightarrow a = \dfrac{1}{3}\)

Temos então \(f(x) = \dfrac{1}{3}(x-12)^2\)

Podemos agora calcular f(21)

\(f(21) = \dfrac{1}{3}(21- 12)^2\)

\(f(21) = \dfrac{1}{3}(9)^2\)

\(f(21) = \dfrac{81}{3}\)

\(f(21) = \fbox{27}\)

Portanto, concluímos que f(21) = 27.