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Albert Einstein

Albert Einstein 2026 – Geometria Plana e Espacial | Questão 04 Dissertativa Resolvida

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QUESTÃO 04
Um cilindro foi colocado no interior de um cubo cuja aresta mede 4 cm, de tal maneira que cada base do cilindro tangencia três faces do cubo, conforme mostra a figura 1. Cada um desses 6 pontos de tangência está a uma distância d de duas das arestas da face que o contém, conforme a figura 2, que mostra detalhadamente uma das bases do cilindro.

a) Supondo que \(d =\sqrt{2}\) cm, qual é a área do triângulo cujos vértices são os três pontos de tangência de uma mesma base do cilindro?
b) Se d = 1 cm, o raio da base do cilindro medirá \(d = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\) cm. Nessas condições, qual o volume do cilindro?

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Combinatória – Questão 50 – Albert Einstein 2026 – Matemática Resolvida

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Considere a montagem a seguir, que forma a palavra C­OMBINATÓRIA ao se fazer um caminho que inicia em uma das letras C e segue, sempre, para a direita ou para baixo.

Na palavra em destaque na montagem, o caminho partiu de C, foi para a direita, desceu, foi para a direita, desceu e foi para a direita, mudando de direção 4 vezes e descendo um total de 6 letras. Caso o caminho começasse da letra C mais ao alto, só seria possível descer; logo, não teria acontecido mudança de direção e teria descido 11 letras. Caso o caminho começasse da letra C mais abaixo, só seria possível ir para a direita; logo, não teria acontecido mudança de direção e não teria descido letra alguma.
O número de caminhos distintos que se pode fazer para formar COMBINATÓRIA, de modo a descer mais de 8 letras e mudar de direção exatamente 3 vezes, ou a descer menos de 3 letras e mudar de direção exatamente 2 vezes, é igual a
(A) 31.
(B) 34.
(C) 41.
(D) 15.
(E) 63.

O objetivo desta questão é contar o número de caminhos distintos que satisfazem uma de duas condições complexas. Em vez de nos perdermos em fórmulas de combinatória, nossa estratégia será traduzir o problema para um modelo mais simples e contar os casos de forma inteligente.

O plano de ataque será o seguinte:

  1. Modelagem do Problema (O Modelo das Flechas): Primeiro, simplificamos o problema. Um caminho de “direita ou para baixo” para formar a palavra “combinatória” (12 letras) consiste em 11 movimentos. Vamos representar um movimento para baixo como “B” e um para a direita como “D”. O problema se resume a arranjar sequências de “B”s e “D”s. Uma “mudança de direção” ocorre quando trocamos de B para D ou de D para B.
  2. Análise do Caso 1 (Descer > 8, 3 mudanças):
    • Identificamos que “descer mais de 8” significa ter 9, 10 ou 11 flechas “B”.
    • Descartamos os casos com 10 e 11 “B”s, pois é impossível ter 3 mudanças de direção.
    • Focamos no caso principal: 9 flechas “B” e 2 flechas “D”. Para ter 3 mudanças, a sequência de movimentos deve ter 4 blocos, alternando entre B e D (ex: B... D... B... D...).
    • Usamos a técnica de encaixe: contamos de quantas maneiras podemos posicionar as 2 flechas “D” nos espaços disponíveis entre as 9 flechas “B” (e vice-versa), chegando ao total de possibilidades para este caso.
  3. Análise do Caso 2 (Descer < 3, 2 mudanças):
    • Identificamos que “descer menos de 3” significa ter 0, 1 ou 2 flechas “B”.
    • Descartamos o caso com 0 “B”s (sem mudanças de direção).
    • Analisamos os dois subcasos restantes:
      • 1 “B” e 10 “D”s: Para 2 mudanças, o padrão deve ser D... B... D.... Usamos a técnica de encaixe para posicionar a única flecha “B” nos espaços entre as “D”s.
      • 2 “B”s e 9 “D”s: Para 2 mudanças, os padrões podem ser D... B... D... ou B... D... B.... Novamente, usamos a contagem por encaixe para cada padrão.
  4. Soma Final: Como o enunciado usa a conjunção “ou”, somamos o total de possibilidades encontradas no Caso 1 e no Caso 2 para chegar à resposta final.

Assista ao vídeo acima para ver como o modelo de flechas simplifica o raciocínio e como a técnica de encaixe transforma um problema complexo em uma contagem rápida e direta.

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Albert Einstein 2026 – Raciocínio Algorítmico – Questão 49

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Um algoritmo inicia com uma lista ordenada de números e retorna uma lista embaralhada desses números. D­urante as repetições do loop do algoritmo, é selecionado um dos números da lista original, que é enviado para o fim da lista embaralhada ou, se a lista embaralhada ainda e­stiver v­azia, o número selecionado é enviado para o início dela. Para retirar um e­lemento da lista, será usado o código pop(r), que retira o r-ésimo elemento da lista e o coloca na lista embaralhada. Por exemplo, suponha que a lista seja (1, 2, 3, 4, 5) e que a variável r seja igual a 2; o comando pop(r) irá retirar o segundo elemento dessa lista, que no momento é o 2, e irá colocá-lo no início da lista embaralhada, que no momento está vazia. Dessa maneira, a lista passa a ser (1, 3, 4, 5) e a lista embaralhada passa a ser (2). Se r permanecer valendo 2, um novo comando pop(r) irá retirar da lista o elemento 3, que no momento é o s­egundo da lista, de maneira que a lista passa a ser (1, 4, 5) e a lista embaralhada passa a ser (2, 3). Dadas as variáveis d, D e r, execute o algoritmo:

Inicie a lista como (1, 9, 15, 16, 24, 25, 26)
Repita as instruções entre chaves até que essa lista fique vazia
{
d recebe o número atual de elementos da lista
D recebe a diferença entre 50 e o maior elemento atualmente na lista
r recebe o resto de D dividido por d
aumente o valor de r em 1 unidade
pop(r)
}
Imprima a lista embaralhada
A lista embaralhada impressa foi

(A) (16, 1, 26, 15, 24, 25, 9).
(B) (16, 1, 26, 9, 24, 25, 15).
(C) (16, 1, 26, 15, 25, 24, 9).
(D) (16, 1, 26, 24, 15, 9, 25).
(E) (16, 1, 26, 9, 25, 15, 24).

O objetivo desta questão é executar um algoritmo de embaralhamento e determinar a lista final resultante. A estratégia será simular o loop do algoritmo passo a passo, mantendo o controle do estado das listas e das variáveis, e usar as alternativas a nosso favor para acelerar a solução.

O plano de ataque será o seguinte:

  1. Análise Inicial e Otimização: Observamos que todas as alternativas começam com a mesma sequência (16, 1, 26). Em vez de simular o algoritmo desde o início, assumimos que esses são os três primeiros elementos da lista embaralhada e removemo-los da lista original, economizando um tempo precioso.
  2. Primeira Iteração Relevante (4º Elemento): Com a lista original reduzida, executamos a primeira iteração completa do loop:
    • Calculamos as variáveis d (número de elementos restantes) e D (diferença para 50).
    • Encontramos o resto r da divisão e o incrementamos em 1.
    • Usamos o comando pop(r) para identificar o próximo elemento a ser movido para a lista embaralhada.
  3. Eliminação de Alternativas: Com o 4º elemento da lista embaralhada descoberto, comparamos nosso resultado com as alternativas restantes e eliminamos aquelas que não correspondem.
  4. Segunda Iteração e Resposta Final: Executamos o loop mais uma vez para encontrar o 5º elemento. Este passo é decisivo para diferenciar as alternativas que sobraram e nos permite identificar a resposta correta sem a necessidade de executar o algoritmo até o final.

Assista ao vídeo acima para ver a execução detalhada de cada iteração, a lógica por trás da otimização inicial e como usar as alternativas para resolver a questão de forma rápida e estratégica.

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Albert Einstein 2026 – Progressão Aritmética – Questão 48

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Certo dia, às 0h00, um blecaute ocorreu em uma cidade. Entre 0h00 e 0h01, 4 pessoas telefonaram para a concessionária de energia elétrica; entre 0h01 e 0h02, 7 pessoas telefonaram; entre 0h02 e 0h03, 10 pessoas telefonaram e, até a energia voltar às 0h30, a cada minuto, telefonavam 3 pessoas a mais do que as que haviam telefonado no minuto anterior. Nesse período, o número de ligações telefônicas recebidas pela concessionária passou de 1000 entre
(A) 0h22 e 0h23.
(B) 0h23 e 0h24.
(C) 0h21 e 0h22.
(D) 0h25 e 0h26.
(E) 0h24 e 0h25.

O objetivo desta questão é determinar em qual intervalo de tempo o número total de ligações recebidas ultrapassou 1000. A estratégia será modelar o número de ligações por minuto como uma Progressão Aritmética (PA) e usar a fórmula da soma dos termos para criar e resolver uma inequação.

O plano de ataque será o seguinte:

  1. Modelar a Progressão Aritmética: Identificaremos que a quantidade de ligações a cada minuto forma uma PA, determinando seu primeiro termo (a1) e sua razão (r).
  2. Criar a Inequação da Soma: O problema pede o momento em que a soma das ligações (Sn) passa de 1000. Usaremos a fórmula da soma da PA, Sn > 1000, e substituiremos o termo geral (an) dentro dela, resultando em uma inequação quadrática em função de n (o número de minutos/termos).
  3. Resolver a Inequação Quadrática: Para encontrar os valores de n que satisfazem a inequação, primeiro resolveremos a equação quadrática correspondente (3n² + 5n - 2000 = 0) para encontrar suas raízes. Isso exigirá o uso da fórmula de resolvente e o cálculo de uma raiz quadrada de um número grande.
  4. Interpretar o Resultado: A solução da inequação nos dirá a partir de qual termo (n) a soma ultrapassa 1000. O passo final será traduzir esse valor de n de volta para o intervalo de tempo correspondente, prestando atenção em como os termos da PA (A1, A2, etc.) se relacionam com os minutos (0-1, 1-2, etc.).

Assista ao vídeo acima para ver a modelagem da PA, a resolução detalhada da inequação quadrática e a interpretação final para encontrar o intervalo de tempo correto.

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Albert Einstein 2026 – Sistema de Equações – Questão 47

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Dadas as constantes reais p e q, considere a função polinomial do primeiro grau \(f(x) = -x+10\), e a função quadrática \(g(x) = px^2 +q x+4\). Os gráficos dessas funções se intersectam em dois pontos tais que a distância entre suas abscissas e a distância entre suas ordenadas é igual a 4.


Sabendo que a abscissa de um dos pontos de intersecção desses gráficos é −1, o valor de \(p + q\) é igual a
(A) 2.
(B) 5.
(C) 0.
(D) –4.
(E) –3.

O objetivo desta questão é encontrar o valor da soma p + q. A estratégia será usar as informações sobre os pontos de intersecção dos gráficos para criar um sistema de equações e, com ele, descobrir os valores das constantes p e q.

O plano de ataque será o seguinte:

  1. Encontrar o Primeiro Ponto de Intersecção: O enunciado nos dá a abscissa de um dos pontos (x = -1). Como este ponto pertence a ambas as funções, podemos usar a função mais simples, f(x) = -x + 10, para calcular a ordenada correspondente (y) e assim determinar as coordenadas completas do primeiro ponto.
  2. Encontrar o Segundo Ponto de Intersecção: O problema afirma que a distância entre as abscissas e a distância entre as ordenadas dos dois pontos é igual a 4. Usando as coordenadas do primeiro ponto e a representação gráfica, podemos deduzir as coordenadas do segundo ponto de intersecção.
  3. Montar um Sistema de Equações: Agora que temos as coordenadas de dois pontos que pertencem à função quadrática g(x) = px² + qx + 4, podemos substituir cada um desses pontos na equação. Isso nos dará duas equações lineares com duas incógnitas (p e q).
  4. Resolver o Sistema e Encontrar a Resposta: Resolveremos o sistema de equações para encontrar os valores individuais de p e q. O passo final será calcular a soma p + q para chegar à resposta da questão.

Assista ao vídeo acima para ver a dedução das coordenadas dos pontos, a montagem e resolução do sistema de equações, e o cálculo final de p + q.

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Albert Einstein 2026 – Média Aritmética – Questão 46

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As alturas, em cm, dos 7 principais jogadores de um time são, respectivamente: 174, 183, 185, 191, 195, 198 e 199. Em certo treino, compareceram 5 desses jogadores, sendo a média de suas alturas igual a 188,4 cm. As alturas dos 2 jogadores que não compareceram ao treino são
(A) 191 cm e 198 cm.
(B) 191 cm e 195 cm.
(C) 185 cm e 198 cm.
(D) 185 cm e 199 cm.
(E) 183 cm e 199 cm.

Para resolver esta questão, vamos obter a soma das alturas dos sete jogadores e, utilizando a média aritmética dos 5 jogadores, obter a soma das alturas desses cinco jogadores que compareceram ao treino.
Em seguida, calculamos a diferença entre as duas somas e verificando a soma das alternativas, achamos a soma correspondente à essa diferença.
Assista ao vídeo acima e veja o passo a passo dessa resolução.

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