Em um laboratório, uma equipe prepara uma solução com quatro compostos: sódio, potássio, cloreto e glicose, com as seguintes condições:
- a soma das massas dos quatro compostos deve corresponder a 900 mg/L;
- a massa de sódio deve ser o dobro da de potássio;
- a massa de cloreto deve ser a soma da massa de sódio e potássio;
- a massa de glicose deve ser igual à de cloreto.
Nessa solução, a massa de sódio por litro é de
(A) 150 mg.
(B) 200 mg.
(C) 250 mg.
(D) 300 mg.
(E) 350 mg.
Resolução
Inicialmente, vamos dar uma letra para cada substância e, com isso, montar um sistema de equações:
s: para sódio
p: para potássio
c: para cloreto e
g: para glicose
Agora vamos traduzir cada informação em equações:
- a soma das massas dos quatro compostos deve corresponder a 900 mg/L;
- a massa de sódio deve ser o dobro da de potássio;
- a massa de cloreto deve ser a soma da massa de sódio e potássio;
- a massa de glicose deve ser igual à de cloreto.
Temos o sistema:
\(\begin{cases} s + p + c + g = 900 \\ s = 2p \\ c = s + p \\ g = c \end{cases}\)
A partir de agora vou fazer essa resolução por 2 modos diferentes.
Modo I
Vamos escrever todas as variáveis em função de s, que é o objetivo da questão.
\(s = 2p \Rightarrow p= \dfrac{s}{2}\)
\(c = s + p \Rightarrow c = s + \dfrac{s}{2}\)
\(c = \dfrac{3s}{2}\)
\(g = c \Rightarrow g = \dfrac{3s}{2}\)
Usando a primeira equação: \(s + p + c + g = 900\) e com as devidas substituições, teremos:
\(s + \dfrac{s}{2} + \dfrac{3s}{2} +\dfrac{3s}{2} = 900\)
Lembre-se que podemos escrever \(s = \dfrac{2s}{2}\)
\(\dfrac{2s}{2} + \dfrac{s}{2} + \dfrac{3s}{2} +\dfrac{3s}{2} = 900\)
\(\dfrac{2s + s + 3s + 3s}{2} = 900\)
\(\dfrac{9s}{2} = 900\)
\(s = \dfrac{2 \cdot 900}{9}\)
\(s = 2\cdot 100 \Rightarrow s = \fbox{200}\)
O que nos dá a alternativa: (B) 200 mg.
Modo II
Vamos manipular as variáveis com relações mais fáceis antes de chegar em s.
Na equação \((s + p) + c + g = 900\)
Sabendo que \(c = (s+p) \) e \(c = g\), podemos escrever
\(c + c +c = 900\)
\(3c = 900 \)
\(c = \dfrac{900}{3} \Rightarrow c = 300\)
Agora, usamos que \(s = 2p\) em \(c = s +p\), o que nos dá:
\(300 = 2p + p \)
\(3p = 300\)
\(p = \dfrac{300}{3} \Rightarrow p = 100\)
Finalmente, podemos usar a equação \(s =2p\) e, obter a resposta final:
\(s = 2 \cdot 100\)
\(s = \fbox{200}\)
Confirmando a resposta de gabarito: (B) 200 mg.
