| Concursos |

Carlos começou a ler um livro seguindo uma rotina: no primeiro dia, leu 1 página; no segundo dia, 2 páginas; no terceiro dia, 3 páginas; e assim sucessivamente, aumentando em uma página a cada dia. No 27º dia, leu exatamente 27 páginas e concluiu a leitura. Com base nessa situação hipotética, assinale a opção que apresenta o total de páginas do livro.
(A) 325
(B) 351
(C) 378
(D) 406
(E) 435

RESOLUÇÃO

A situação apresentada é a seguinte:

1º dia: 1 página lida.
2º dia: 2 páginas lidas.
3º dia: 3 páginas lidas.

Note que a solução desta questão é obtida somando-se:
\(1 + 2 + 3 + \cdots + 27\)
Apesar de ser possível resolver a questão assim, tomaria muito tempo em um dia de concurso.

A sequência \(1,2,3, \cdots, 27\) é uma progressão aritmética de 27 termos, com \(a_1=1, \quad a_{27} = 27\) e razão \(r = 1\).

Logo, o total de páginas pode ser obtido pela fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A. :

\(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)

Vamos obter o total de páginas lidas, usando os dados do enunciado \(\begin{cases} a_1 = 1 \\ a_{27} = 27 \\ n=27 \end{cases}\)

\(S_{27} = \dfrac{(1+27)\cdot 27}{2} = \dfrac{28 \cdot 27}{2} = \dfrac{756}{2} = \boxed{378}\)

✅ Resposta correta: (C) 378

Comentário do Professor Luiz Guilherme:

Essa questão é uma aplicação direta de números triangulares, que são obtidos pela soma \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdot … + n\).
A fórmula para se obter um número triangular é: \(T_n = \dfrac{n \cdot (n+1)}{2}\)

No caso, teríamos \(T_{27} = \dfrac{27\cdot (27+1)}{2} = \dfrac{27 \cdot 28}{2} = \dfrac{756}{2} = \boxed{378}\)

O que você achou da resolução dessa questão de PROGRESSÃO ARITMÉTICA da banca QUADRIX? Deixe o seu comentário e faça sugestões de questões e provas que você gostaria de ver resolvidas aqui no site!

Assinale a opção que apresenta a negação lógica da proposição
“Nenhum príncipe é encantado”.

(A) Algum príncipe não é encantado.
(B) Pelo menos um príncipe é encantado.
(C) Todos os príncipes são encantados.
(D) Todos os encantados são príncipes.
(E) Todos os príncipes não são encantados.

RESOLUÇÃO

A questão pede uma negação de uma proposição.

Vamos estudar os casos de proposições categóricas e suas negações:

Tipo	Proposição	Negação
Universal Afirmativa	Todo A é B	Algum A não é B
Universal Negativa	Nenhum A é B	Algum A é B
Particular Afirmativa	Algum A é B	Nenhum A é B
Particular Negativa	Algum A não é B	Todo A é B

A proposição:
Nenhum príncipe é encantado.
Do tipo universal negativa, terá como negação:
Algum príncipe é encantado.
Que equivale a:
Pelo menos um príncipe é encantado.

Aprofundando:

Queremos a negação da proposição:
Nenhum príncipe é encantado.
Substituindo nenhum por não existe um, obtemos a seguinte equivalência:
“Não existe um príncipe encantado.”

A negação dessa proposição pode ser obtida excluindo-se o não de sua equivalência:
Existe um príncipe encantado.
E consequentemente:
Pelo menos um príncipe é encantado.

✅ Resposta correta: (B) Pelo menos um príncipe é encantado.

O que você achou da resolução dessa questão de NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES da banca QUADRIX? Deixe o seu comentário e faça sugestões de questões e provas que você gostaria de ver resolvidas aqui no site!

Eduardo, Felipe e Gustavo são irmãos com diferentes patrimônios financeiros. Certo dia, durante uma conversa sobre dinheiro, cada um fez uma afirmação sobre a riqueza relativa entre eles:

• Eduardo: “Eu tenho mais dinheiro que Felipe”;
• Felipe: “Gustavo tem mais dinheiro que Eduardo”; e
• Gustavo: “Eduardo é o mais rico entre nós três”.

Se apenas um deles falou a verdade e, consequentemente, os demais mentiram, então é correto concluir que:
A) Felipe tem o maior patrimônio dos três.
B) Gustavo tem menos dinheiro que Felipe.
C) Eduardo tem menos dinheiro que Gustavo.
D) Eduardo tem o maior patrimônio entre três.

RESOLUÇÃO

A estratégia de resolução dessa questão é atribuir valores lógicos (verdade e falsidade) para as proposições de cada irmão, sendo que um dos irmãos diz a verdade e os outros, necessariamente, dizem falsidades.

Usaremos as iniciais E, F e G para indicar, respectivamente, o patrimônio de Eduardo, Felipe e Gustavo e o símbolo “>” como “possui maior patrimônio que“:

Primeiro Caso (Eduardo diz a verdade)

• E > F (Verdade)
• G > E (Falso) \(\Rightarrow\) E > G
• E é o mais rico (Falso) \(\Rightarrow\) E não é o mais rico.

Temos uma contradição, pois E > F ,E > G, o que é incompatível com a falsidade da fala de Gustavo: E não é o mais rico.

Segundo Caso (Felipe diz a verdade)

• E > F (Falso) \(\Rightarrow\) F > E
• G > E (Verdade)
• E é o mais rico (Falso) \(\Rightarrow\) E não é o mais rico.

Não há contradição nesse caso

Terceiro Caso (Gustavo diz a verdade)

• E > F (Falso) \(\Rightarrow\) F > E
• G > E (Falso) \(\Rightarrow\) E > G
• E é o mais rico (Verdade)
  

A contradição nesse caso está em F > E e E é o mais rico.

Conclusão

No único caso sem contradições, Eduardo tem o menor patrimônio. Mesmo não podendo afirmar quem é o mais rico, sabemos que Eduardo tem menos dinheiro que Gustavo.

✅ Resposta correta: C) Eduardo tem menos dinheiro que Gustavo.

O que você achou da resolução dessa questão de LÓGICA da banca CONSULPLAN? Deixe o seu comentário e faça sugestões de questões e provas que você gostaria de ver resolvidas aqui no site!

Em determinado festival de música, os artistas podem se apresentar em até três dos seguintes gêneros musicais: Rock, Jazz e Blues. Sabe-se que:

• Todo artista que toca Rock também toca Jazz;
• Todo artista que toca Jazz também toca Blues; e
• O festival conta com 12 artistas que tocam Rock, 26 artistas que tocam Jazz e 39 artistas que tocam Blues.

Com base nessas informações, quantos artistas tocam exatamente dois desses gêneros musicais?
A) 12.
B) 13.
C) 14.
D) 15.

RESOLUÇÃO

Vamos resolver essa questão utilizando diagrama de Venn.

Todo artista que toca Rock também toca Jazz elimina a possibilidade de termos artistas nas regiões destacadas em vermelho a seguir.

Todo artista que toca Jazz também toca Blues elimina mais algumas regiões, conforme imagem a seguir:

O festival conta com 12 artistas que tocam Rock, só existe uma região onde podemos incluir esses 12 elementos:

O festival conta com 26 artistas que tocam Jazz, nesse caso, descontando os 12 elementos que já estão inseridos no gráficos, ficamos co 26 – 12 = 14 elementos na região que ainda pode ser preenchida dentro do círculo do Jazz.

O festival conta com 39 artistas que tocam Blues, já temos 12+14 = 26 artistas que tocam Blues, fazendo 39 -26 = 13, completamos o diagrama.

A quantidade de artistas que tocam exatamente dois dos gêneros musicais é 14, no caso, os que tocam Blues e Jazz mas não tocam Rock.

✅ Resposta correta: C) 14.

O que você achou da resolução dessa questão de DIAGRAMA DE VENN da banca CONSULPLAN? Deixe o seu comentário e faça sugestões de questões e provas que você gostaria de ver resolvidas aqui no site!

Cinco equipes de futebol de salão participaram de um torneio, no qual cada equipe enfrentou todas as equipes adversárias duas vezes – uma na primeira fase e outra na segunda fase. A cada confronto, a equipe vencedora recebeu 3 pontos, a equipe perdedora não pontuou e, em caso de empates, ambas as equipes somaram 1 ponto. Após a conclusão de todas as partidas, a tabela de classificação final foi:

Times	Pontos
Águia	15
Leão	12
Falcão	10
Trovão	8
Dragão	5

Com base nessas informações, quantas partidas do torneio terminaram sem um vencedor?
A) 4.
B) 5.
C) 8.
D) 10.

RESOLUÇÃO

Essa questão será resolvida em etapas, a primeira delas é descobrir o total de partidas desse torneio.

O fato de cada equipe enfrentar todos os adversários duas vezes permite pensar em cada jogo como ida e volta, assim, a quantidade de partidas será dada por:

\(5 \times 4 = 20\) partidas no total.

Na segunda etapa, sabendo o número de partidas, vamos calcular a quantidade de pontos do torneio:

Times	Pontos
Águia	15
Leão	12
Falcão	10
Trovão	8
Dragão	5
Total	50

Como temos 50 pontos em 20 partidas, vamos montar um sistema para descobrir quantas partidas terminaram sem um vencedor, ou seja, quantos empates no torneio.

Existem 2 possibilidades para cada partida:

• (V) Vitória: 3 pontos atribuídos ao vencedor.
• (E) Empate: 2 pontos atribuídos (1 por equipe).

Agora, nesta terceira etapa, vamos montar um sistema para descobrir o total de empates.

\(\begin{cases} V + E = 20 \\ 3V + 2E = 50 \end{cases}\)

A primeira equação refere-se à quantidade de partidas, e a segunda, à quantidade de pontos.

Como quero saber o valor de E, vou isolar V na primeira equação e substituir na segunda:

\(V = 20 – E\)

Substituindo:

\(3(20 – E) + 2E = 50\)
\(60 -3E + 2E = 50\)
\(-E = 50 – 60\)
\(-E = -10 \Rightarrow E = \boxed{10}\)

Logo, 10 partidas terminaram sem um vencedor.

✅ Resposta correta: D) 10.

💡Comentários do professor Luiz Guilherme:

• A banca da questão colocou alternativa B) no gabarito preliminar e depois corrigiu seu erro no gabarito pós recurso.
• Esta questão trabalha com análise combinatória, tabelas e sistema de equações, por isso é importante sempre pensar em uma boa estratégia antes de começar a resolver.
• Pratique resolver o sistema também pelo método da adição. Dica: multiplique a primeira equação por 3 e a segunda por -1.

O que você achou da resolução dessa questão de ANÁLISE COMBINATÓRIA e SISTEMA DE EQUAÇÕES da banca CONSULPLAN? Deixe o seu comentário e faça sugestões de questões e provas que você gostaria de ver resolvidas aqui no site!

Caminhando em intensidade leve, você dá 80 passos por minuto e chega ao seu local de trabalho em 20 minutos. Hoje você se atrasou para sair, e tem só 16 minutos para chegar ao local de trabalho. Você terá que dar:
a) 85 passos por minuto
b) 90 passos por minuto
c) 100 passos por minuto
d) 105 passos por minuto

RESOLUÇÃO

Temos um caso de regra de três simples com duas grandezas:

• Passos por minuto
• Minutos

Essas grandezas são inversamente proporcionais.
Considerando que a distância ao local de trabalho é fixa, quando aumentamos a velocidade (passos por minuto), diminuímos o tempo (minutos).

Quando temos grandezas inversamente proporcionais, multiplicamos as grandezas em linha e igualamos os resultados:

Passos por minuto	Minutos	Produto das grandezas
80	20	\(80 \cdot 20 = 1600\)
x	16	\(16x\)

Temos a equação:

\(16x = 1600\)

\(x = \dfrac{1600}{16}\)

\(x = \boxed{100}\)

Verificação pela lógica dos passos totais:

Quando você dá 80 passos por minuto durante 20 minutos, podemos concluir que foram dados \(80 \cdot 20 = 1600\) passos.

Na segunda situação, você tem apenas 16 minutos, porém a distância ao local de trabalho é a mesma, ou seja, é necessário que você dê os mesmos 1600 passos. A quantidade de passos por minuto é obtida fazendo a divisão \(1600 \div 16 = \boxed{100}\) passos por minuto.

✅ Resposta correta: c) 100 passos por minuto

O que você achou da resolução dessa questão de REGRA DE TRÊS SIMPLES da banca IBFC? Deixe o seu comentário e faça sugestões de questões e provas que você gostaria de ver resolvidas aqui no site!