Progressão Aritmética

Um time de basquetebol disputou 20 jogos em um torneio escolar. Nos 10 primeiros jogos disputados, os números de pontos que esse time marcou foram, respectivamente, 62, 75, 62, 89, 78, 51, 86, 63, 87 e 47.

a) Seja M₄ a média dos números de pontos marcados por esse time nos 4 primeiros jogos. Sabendo que, nos 10 primeiros jogos, esse time venceu apenas aqueles em que marcou mais do que M₄ pontos, quantos jogos esse time venceu nessas 10 primeiras disputas?

b) Nos 10 últimos jogos disputados por esse time, os respectivos números de pontos marcados por jogo formaram uma progressão aritmética de razão 6. Sabendo que o total de pontos marcados pelo time nos 10 primeiros jogos foi igual ao total de pontos marcados nos 10 últimos jogos, quantos pontos foram marcados no 16º jogo?

Resolução (a)

A pontuação nas 4 primeiras partidas foram 62, 75, 62 e 89, com isso podemos calcular a pontuação média:

\(M_4 = \dfrac{62+75+62+89}{4} = \dfrac{288}{4} = \fbox{72}\)

Isso significa que, nas 10 primeiras partidas esse time venceu apenas àquelas com pontuação superior a 72 pontos.

As pontuações das primeiras dez partidas foram:

62, 75, 62, 89, 78, 51, 86, 63, 87 e 47.

Dentre essas pontuações, vamos contar apenas as superiores a 72 pontos:

75, 89, 78, 86 e 87

O que nos dá um total de 5 vitórias.

Resolução (b)

Inicialmente, vamos calcular o somatório da pontuação dos 10 primeiros jogos:

62 + 75 + 62 + 89 + 78 + 51 + 86 + 63 + 87 + 47 = 700

Vamos considerar a pontuação do 11º jogo como sendo a₁ e a do 20º como sendo a₁₀, com esse ajuste, a pontuação da 16º jogo será o termo a₆ da progressão aritmética.

Sabemos que a fórmula do termos geral da P.A. e da soma dos termos de uma P.A. são, respectivamente:

\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \)

\(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}\)

Temos, então:

\(S_{10} = 700\) e \(r =6\)

\(\dfrac{(a_1 + a_{10})\cdot 10}{2} = 700\)

\((a_1 + a_{10}) = \dfrac{2 \cdot 700}{10}\)

\(a_1 + a_{10} = 140\)

Desenvolvendo a₁₀

\(a_1 + a_1 + (10 – 1)\cdot 6 = 140\)

\(2a_1 + 9\cdot 6 = 140\)

\(2a_1 + 54 = 140\)

\(2a_1 = 140 – 54\)

\(a_1 = \dfrac{86}{2}\)

\(a_1 = \fbox{43}\)

Sabendo o valor de a₁, vamos obter a₆ pela fórmula do termo geral:

\(a_6 = 43 + (6-1)\cdot 6\)

\(a_6 = 43 + 5 \cdot 6\)

\(a_6 = 43 + 30\)

\(a_6 = \fbox{73}\)

Portanto, concluímos que no 16º jogo forma marcados 73 pontos.

Uma forma alternativa de resolver essa questão, usando a mesma notação de a₆ para o 16º jogo seria a seguinte.

Utilizando que a soma igual a 700 e pela simetria dos termos equidistantes dos extremos, temos:

\(a_5 + a_6 = a_1 + a_{10} = 140\)

\(a_6 – a_ 5 = 6\)

Temos o sistema:

\(\begin{cases} a_6 + a_5 = 140 \\ a_6 -a_5 = 6 \end{cases}\)

Somando as duas equações:

\(2\cdot a_6 = 146\)

\(a_6 = \dfrac{146}{2}\)

\(a_6 = \fbox{73}\)

O que nos leva ao mesmo resultado de 73 pontos no 16º jogo.