Sejam a, b, c e p constantes reais. A lei de formação de uma função \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e seu respectivo gráfico são dados a seguir:
\(f(x) = \begin{cases} – x+2, \qquad\text{se } x<p \\ x- 6, \qquad \text{se } p \leq x < 9 \\ ax^2 + bx + c, \qquad \text{se } x \geq 9 \end{cases}\)
a) Sabendo que os gráficos das funções \(g(x) = -x + 2\) e \(h(x) = x – 6\) se intersectam no ponto de abscissa p, determine a imagem de f.
b) Sabendo que f(9) = 3, determine f(21).
Resolução (a)
Para obtermos a imagem de f, devemos observar que tanto para \(x < p\) como para \(x \geq 9\) o gráfico da função cresce infinitamente, sendo assim, devemos procurar o valor mínimo da função de f, que ocorre para x = p.
Para obtermos o valor de p, vamos obter a intersecção de g(x) com h(x).
\(-x + 2 = x – 6\)
\(– x – x = – 6 – 2\)
\(-2x = -8 \Rightarrow 2x = 8\)
\(x = \dfrac{8}{2}\)
\(x = \fbox{4}\)
Agora, calculamos \(f(4) = -4 + 6 = -2\)
Concluímos que o valor mínimo da função f é -2 e, consequentemente, sua imagem será:
\(Im_f =\{ y \in \mathbb{R} | y \geq -2\}\)
Resolução (b)
A função quadrática \(f(x) = ax^2 +bx + c\) pode ser reescrita na forma canônica da seguinte maneira:
\(f(x) = a(x – x_v)^2 + y_v\)
Observando, pelo gráfico, que o vértice da parábola é o ponto V(12,0), a função fica:
\(f(x) = a (x – 12)^2 + 0\)
Como é informado que f(9) = 3, temos:
\(a(9-12)^2 = 3\)
\(a(-3)^2 = 3\)
\(9a = 3\)
\(a = \dfrac{3}{9} \Rightarrow a = \dfrac{1}{3}\)
Temos então \(f(x) = \dfrac{1}{3}(x-12)^2\)
Podemos agora calcular f(21)
\(f(21) = \dfrac{1}{3}(21- 12)^2\)
\(f(21) = \dfrac{1}{3}(9)^2\)
\(f(21) = \dfrac{81}{3}\)
\(f(21) = \fbox{27}\)
Portanto, concluímos que f(21) = 27.
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