Cinco equipes de futebol de salão participaram de um torneio, no qual cada equipe enfrentou todas as equipes adversárias duas vezes – uma na primeira fase e outra na segunda fase. A cada confronto, a equipe vencedora recebeu 3 pontos, a equipe perdedora não pontuou e, em caso de empates, ambas as equipes somaram 1 ponto. Após a conclusão de todas as partidas, a tabela de classificação final foi:
| Times | Pontos |
|---|---|
| Águia | 15 |
| Leão | 12 |
| Falcão | 10 |
| Trovão | 8 |
| Dragão | 5 |
Com base nessas informações, quantas partidas do torneio terminaram sem um vencedor?
A) 4.
B) 5.
C) 8.
D) 10.
RESOLUÇÃO
Essa questão será resolvida em etapas, a primeira delas é descobrir o total de partidas desse torneio.
O fato de cada equipe enfrentar todos os adversários duas vezes permite pensar em cada jogo como ida e volta, assim, a quantidade de partidas será dada por:
\(5 \times 4 = 20\) partidas no total.
Na segunda etapa, sabendo o número de partidas, vamos calcular a quantidade de pontos do torneio:
| Times | Pontos |
|---|---|
| Águia | 15 |
| Leão | 12 |
| Falcão | 10 |
| Trovão | 8 |
| Dragão | 5 |
| Total | 50 |
Como temos 50 pontos em 20 partidas, vamos montar um sistema para descobrir quantas partidas terminaram sem um vencedor, ou seja, quantos empates no torneio.
Existem 2 possibilidades para cada partida:
- (V) Vitória: 3 pontos atribuídos ao vencedor.
- (E) Empate: 2 pontos atribuídos (1 por equipe).
Agora, nesta terceira etapa, vamos montar um sistema para descobrir o total de empates.
\(\begin{cases} V + E = 20 \\ 3V + 2E = 50 \end{cases}\)
A primeira equação refere-se à quantidade de partidas, e a segunda, à quantidade de pontos.
Como quero saber o valor de E, vou isolar V na primeira equação e substituir na segunda:
\(V = 20 – E\)
Substituindo:
\(3(20 – E) + 2E = 50\)
\(60 -3E + 2E = 50\)
\(-E = 50 – 60\)
\(-E = -10 \Rightarrow E = \boxed{10}\)
Logo, 10 partidas terminaram sem um vencedor.
💡Comentários do professor Luiz Guilherme:
- A banca da questão colocou alternativa B) no gabarito preliminar e depois corrigiu seu erro no gabarito pós recurso.
- Esta questão trabalha com análise combinatória, tabelas e sistema de equações, por isso é importante sempre pensar em uma boa estratégia antes de começar a resolver.
- Pratique resolver o sistema também pelo método da adição. Dica: multiplique a primeira equação por 3 e a segunda por -1.
O que você achou da resolução dessa questão de ANÁLISE COMBINATÓRIA e SISTEMA DE EQUAÇÕES da banca CONSULPLAN? Deixe o seu comentário e faça sugestões de questões e provas que você gostaria de ver resolvidas aqui no site!
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