Sistema de Equações

Dadas as constantes reais p e q, considere a função polinomial do primeiro grau \(f(x) = -x+10\), e a função quadrática \(g(x) = px^2 +q x+4\). Os gráficos dessas funções se intersectam em dois pontos tais que a distância entre suas abscissas e a distância entre suas ordenadas é igual a 4.

Sabendo que a abscissa de um dos pontos de intersecção desses gráficos é −1, o valor de \(p + q\) é igual a
(A) 2.
(B) 5.
(C) 0.
(D) –4.
(E) –3.

O objetivo desta questão é encontrar o valor da soma p + q. A estratégia será usar as informações sobre os pontos de intersecção dos gráficos para criar um sistema de equações e, com ele, descobrir os valores das constantes p e q.

O plano de ataque será o seguinte:

1. Encontrar o Primeiro Ponto de Intersecção: O enunciado nos dá a abscissa de um dos pontos (x = -1). Como este ponto pertence a ambas as funções, podemos usar a função mais simples, f(x) = -x + 10, para calcular a ordenada correspondente (y) e assim determinar as coordenadas completas do primeiro ponto.
2. Encontrar o Segundo Ponto de Intersecção: O problema afirma que a distância entre as abscissas e a distância entre as ordenadas dos dois pontos é igual a 4. Usando as coordenadas do primeiro ponto e a representação gráfica, podemos deduzir as coordenadas do segundo ponto de intersecção.
3. Montar um Sistema de Equações: Agora que temos as coordenadas de dois pontos que pertencem à função quadrática g(x) = px² + qx + 4, podemos substituir cada um desses pontos na equação. Isso nos dará duas equações lineares com duas incógnitas (p e q).
4. Resolver o Sistema e Encontrar a Resposta: Resolveremos o sistema de equações para encontrar os valores individuais de p e q. O passo final será calcular a soma p + q para chegar à resposta da questão.

Assista ao vídeo acima para ver a dedução das coordenadas dos pontos, a montagem e resolução do sistema de equações, e o cálculo final de p + q.