Dados dois inteiros positivos n e B, a representação de n na base B é denotada por \((a_k : a_{k – 1} : \ldots : a_1 : a_0)_B\), em que \(a_i \in \{0, 1, \ldots, B – 1\}\), se:
\(n = a_k \cdot B^k + a_{k – 1} \cdot B^{k – 1} + \ldots + a_1 \cdot B^1 + a_0 \cdot B_0\)
Por exemplo, a representação de 139 na base 8 é
\((2 : 1 : 3)_8\), pois \(139 = 2 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0\). A representação na base 6 do inteiro positivo que tem representação \((1 : 0 : 2 : 6)_7\)
na base 7 é
(A) \((1 : 2 : 3 : 2)_6\)
(B) \((1 : 4 : 0 : 3)_6\)
(C) \((1 : 1 : 4 : 0)_6\)
(D) \((1 : 0 : 5 : 4)_6\)
(E) \((1 : 3 : 1 : 2)_6\)
Albert Einstein
Vestibular Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática: Gráfico e Porcentagem
Analise o gráfico que apresenta os números de livros impressos no período de 1475 a 1775 na França, no Reino Unido e na Alemanha.
A análise do gráfico mostra que o total de livros impressos nos 3 países considerados em 1675 teve um acréscimo, em relação ao ano de 1625,
(A) superior a 200%.
(B) entre 120% e 200%.
(C) entre 12% e 25%.
(D) inferior a 12%.
(E) entre 25% e 120%.
Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática – Volume e Razão
Na figura, estão representados o prisma retorretângulo ABCDEFGH e a pirâmide BCDL. O vértice L da pirâmide está na reta que contém a aresta \(\overline{CG} \) do prisma.
O prisma e a pirâmide BCDL têm o mesmo volume.
O ponto J está na interseção dos segmentos \(\overline{BL}\) e \( \overline{FG}\), e o ponto K está na interseção dos segmentos \(\overline{DL}\) e \( \overline{GH}\). O volume da pirâmide GJKL, em relação ao volume do prisma, corresponde a
(A) \(\dfrac{125}{216}\)
(B) \(\dfrac{16}{25}\)
(C) \(\dfrac{3}{4}\)
(D) \(\dfrac{25}{36}\)
(E) \(\dfrac{64}{125}\)
Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática – Área de Polígonos
A figura mostra o quadrado PQRS sobre um ladrilhamento hexagonal regular do plano, em que os vértices P e Q coincidem com vértices de hexágonos do ladrilhamento.
Sabendo que cada um dos hexágonos do ladrilhamento tem 1 cm² de área, a área do quadrado PQRS é
(A) \(\dfrac{9 \sqrt{6}}{2}\) cm²
(B) \(6 \sqrt{3}\) cm²
(C) \(11\) cm²
(D) \(\dfrac{22 \sqrt{2}}{3}\) cm²
(E) \(10\) cm²
Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática: Trigonometria
No plano, as retas r e s são perpendiculares e se cruzam no ponto P, que pertence à circunferência δ. A reta r passa pelo centro O de δ e contém o ponto R de δ. A reta s forma um ângulo de medida θ com o segmento , em que Q é um ponto de δ, como na figura.
Sabendo que cos θ \(= \dfrac{5}{8}\) e que o raio de δ mede 12 cm, a distância entre os pontos R e Q é de
(A) 15 cm
(B) \(\dfrac{50}{3}\) cm
(C) \(\dfrac{95}{6}\) cm
(D) 16cm
(E) 18 cm
O triângulo \(\Delta RQP\) inscrito na circunferência δ é retângulo, pois um de seus lados, \(\overline{RP}\), é o diâmetro de δ.
Conforme a figura
- \(\angle Q = 90^\circ\)
- \(\angle P = 90^\circ – \theta \)
- \(\angle R = \theta\)
No \(\Delta RQP\) a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) é o diâmetro \(\overline{RP}\), com medida:
\(RP = 2 \cdot 12 = 24\)
O cateto adjacente a \(\angle R\) é o lado \(\overline{RQ}\)
Usando a relação
\(\cos \theta = \dfrac{\text{Cateto Adjacente}}{\text{Hipotenusa}} = \dfrac{RQ}{24} \)
Pelo enunciado, \(\cos \theta = \dfrac{5}{8}\). Logo:
\(\dfrac{RQ}{24} = \dfrac{5}{8}\)
\(RQ = \dfrac{24 \cdot 5}{8}\)
\(RQ = 3 \cdot 5\)
\(RQ = \boxed{15}\)
Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática: Juros Compostos e Logaritmo
Geraldo depositou R$ 1.000,00 em uma conta de investimento que rende p% por ano. Não tendo feito mais nenhum depósito nessa conta, após 30 anos, o saldo era de R$ 120.000,00. Usando \(\log_{10} 2 = 0,301, \log_{10} 3 = 0,477\) e \(10^{0,0231} = K\), o valor de p é
(A) \(100(K^3-1)\)
(B) \(100 (1 – \dfrac{1}{K^2})\)
(C) \(100( K^2 – 1)\)
(D) \(100(1 – \dfrac{1}{K})\)
(E) \(100(K-1)\)
Propriedades Operatórias
Logaritmos:
\(\log_a b^n = n \log_a b\)
\(\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\)
\(\log_a a = 1\)
Potenciação:
\(\left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n}\)
RESOLUÇÃO
A fórmula do Valor Futuro a Juros Compostos é:
\(FV = PV (1+i)^n\)
Onde:
- FV = Valor Futuro
- PV = Valor Presente
- i = taxa de juros
- n = número de períodos (tempo)
A questão nos dá:
- FV = 120000
- PV = 1000
- i = p% ao ano
- n = 30 anos
Usando esses dados, temos a seguinte equação:
\(1000 \left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = 120000\)
\(\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = \dfrac{120000}{1000}\)
\(\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = 120\)
Aplicando \(\log_{10}\) em ambos lados:
\(\log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = \log_{10}120 \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}120 \)
Fazendo \(120 = 2^2 \cdot 3 \cdot 10\)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}(2^2 \cdot 3 \cdot 10) \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}2^2 + \log_{10} 3 + \log_{10}10 \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2 \cdot \log_{10} 2 + 0,477 + 1 \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2 \cdot 0,301 + 1,477 \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =0,602 + 1,477 \)
\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2,079 \)
\( \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \dfrac{2,079}{30} \)
\( \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = 0,0693 \)
Aplicando a definição de logaritmo:
\( 1 + \dfrac{p}{100} =10^{0,0693} \)
O passo-chave para usarmos \(10^{0,0231} =K\) é reescrever \(0,0693 = 0,0231 \cdot 3\). Assim:
\( 1 + \dfrac{p}{100} =10^{0,0231 \cdot 3} \)
\( 1 + \dfrac{p}{100} =\left( 10^{0,0231}\right)^3 \)
\( 1 + \dfrac{p}{100} = K^3 \)
\( \dfrac{p}{100} = K^3 -1 \)
\(\boxed{p = 100 (k^3 – 1)}\)