Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática: Juros Compostos e Logaritmo

Geraldo depositou R$ 1.000,00 em uma conta de investi­mento que rende p% por ano. Não tendo feito mais nenhum depósito nessa conta, após 30 anos, o saldo era de R$ 120.000,00. Usando \(\log_{10} 2 = 0,301, \log_{10} 3 = 0,477\) e \(10^{0,0231} = K\), o valor de p é
(A) \(100(K^3-1)\)

(B) \(100 (1 – \dfrac{1}{K^2})\)

(C) \(100( K^2 – 1)\)

(D) \(100(1 – \dfrac{1}{K})\)

(E) \(100(K-1)\)

Propriedades Operatórias

Logaritmos:

\(\log_a b^n = n \log_a b\)

\(\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\)

\(\log_a a = 1\)

Potenciação:

\(\left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n}\)

RESOLUÇÃO

A fórmula do Valor Futuro a Juros Compostos é:

\(FV = PV (1+i)^n\)

Onde:

• FV = Valor Futuro
• PV = Valor Presente
• i = taxa de juros
• n = número de períodos (tempo)

A questão nos dá:

• FV = 120000
• PV = 1000
• i = p% ao ano
• n = 30 anos

Usando esses dados, temos a seguinte equação:

\(1000 \left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = 120000\)

\(\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = \dfrac{120000}{1000}\)

\(\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = 120\)

Aplicando \(\log_{10}\) em ambos lados:

\(\log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right)^{30} = \log_{10}120 \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}120 \)

Fazendo \(120 = 2^2 \cdot 3 \cdot 10\)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}(2^2 \cdot 3 \cdot 10) \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \log_{10}2^2 + \log_{10} 3 + \log_{10}10 \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2 \cdot \log_{10} 2 + 0,477 + 1 \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2 \cdot 0,301 + 1,477 \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =0,602 + 1,477 \)

\(30 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) =2,079 \)

\( \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = \dfrac{2,079}{30} \)

\( \log_{10}\left(1 + \dfrac{p}{100} \right) = 0,0693 \)

Aplicando a definição de logaritmo:

\( 1 + \dfrac{p}{100} =10^{0,0693} \)

O passo-chave para usarmos \(10^{0,0231} =K\) é reescrever \(0,0693 = 0,0231 \cdot 3\). Assim:

\( 1 + \dfrac{p}{100} =10^{0,0231 \cdot 3} \)

\( 1 + \dfrac{p}{100} =\left( 10^{0,0231}\right)^3 \)

\( 1 + \dfrac{p}{100} = K^3 \)

\( \dfrac{p}{100} = K^3 -1 \)

\(\boxed{p = 100 (k^3 – 1)}\)

✅ Resposta correta: (A) \(100(K^3-1)\)