A figura mostra o projeto de um portal construído de modo que um arco de parábola seja posicionado sobre uma estrutura retangular.
A estrutura retangular tem base medindo 8 m e altura de 6 m.
O ponto mais alto do portal dista 12 m da base. Deseja-se adicionar uma coluna vertical, destacada em vermelho na figura, cuja base dista 2 m de uma das laterais da estrutura retangular. A altura da coluna será de
(A) 9,75 m.
(B) 7,50 m.
(C) 8,25 m.
(D) 10,50 m.
(E) 9,00 m.
Vamos colocar a parábola em um plano cartesiano, de modo que a origem coincida com o vértice superior esquerdo da estrutura retangular.
Agora, identificamos três pontos da parábola, o vértice e as duas intersecções com o eixo x.
Os zeros da função quadrática foram obtidas de acordo com a escolha da origem do plano cartesiano: \(R_1(0,0), R_2(8,0)\).
Por sua vez, o vértice \(V(4,6)\) da parábola foi obtido da seguinte maneira:
\(x_v = \dfrac{0+8}{2} = 4\) (média das raízes)
\(y_v = 12 – 6 = 6\) (ponto mais alto do portal menos altura da base)
Conhecendo os dois zeros da função, podemos escrever a função quadrática na forma fatorada:
\(y = ax(x-8)\)
Como o vértice \(V(4,6)\) pertence à parábola, substituímos:
\(6 = a \cdot4 \cdot (4-8)\)
\(6 = a \cdot 4 \cdot (-4)\)
\(6 = -16a\)
\(16a = -6\)
\(a = – \dfrac{16}{6}\)
\(a = -\dfrac{3}{8}\)
A função quadrática cujo gráfico é a parábola será:
\(y = – \dfrac{3}{8}x\cdot(x-8)\)
Como a coluna vertical dista 2m da lateral esquerda da base, vamos descobrir o valor de \(y\) para \(x = 2\).
\(y = – \dfrac{3}{8} \cdot 2 \cdot(2-8)\)
\(y = – \dfrac{6}{8} \cdot(-6)\)
\(y = \dfrac{36}{8}\)
\(y = 4,5\)
A altura da coluna será:
\(H = 6 + 4,5\)
\(H = \boxed{10,5}\)
