Matemática para Vestibulares

Foco em Medicina

Função Quadrática

Albert Einstein 2026 – Sistema de Equações – Questão 47

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Dadas as constantes reais p e q, considere a função polinomial do primeiro grau \(f(x) = -x+10\), e a função quadrática \(g(x) = px^2 +q x+4\). Os gráficos dessas funções se intersectam em dois pontos tais que a distância entre suas abscissas e a distância entre suas ordenadas é igual a 4.


Sabendo que a abscissa de um dos pontos de intersecção desses gráficos é −1, o valor de \(p + q\) é igual a
(A) 2.
(B) 5.
(C) 0.
(D) –4.
(E) –3.

O objetivo desta questão é encontrar o valor da soma p + q. A estratégia será usar as informações sobre os pontos de intersecção dos gráficos para criar um sistema de equações e, com ele, descobrir os valores das constantes p e q.

O plano de ataque será o seguinte:

  1. Encontrar o Primeiro Ponto de Intersecção: O enunciado nos dá a abscissa de um dos pontos (x = -1). Como este ponto pertence a ambas as funções, podemos usar a função mais simples, f(x) = -x + 10, para calcular a ordenada correspondente (y) e assim determinar as coordenadas completas do primeiro ponto.
  2. Encontrar o Segundo Ponto de Intersecção: O problema afirma que a distância entre as abscissas e a distância entre as ordenadas dos dois pontos é igual a 4. Usando as coordenadas do primeiro ponto e a representação gráfica, podemos deduzir as coordenadas do segundo ponto de intersecção.
  3. Montar um Sistema de Equações: Agora que temos as coordenadas de dois pontos que pertencem à função quadrática g(x) = px² + qx + 4, podemos substituir cada um desses pontos na equação. Isso nos dará duas equações lineares com duas incógnitas (p e q).
  4. Resolver o Sistema e Encontrar a Resposta: Resolveremos o sistema de equações para encontrar os valores individuais de p e q. O passo final será calcular a soma p + q para chegar à resposta da questão.

Assista ao vídeo acima para ver a dedução das coordenadas dos pontos, a montagem e resolução do sistema de equações, e o cálculo final de p + q.

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FMJ 2026 – Função Quadrática – Questão Resolvida

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QUESTÃO 17
Considere a função f definida por f (x) = x + 1, para todo número real x, e seja g a função dada por g (x) = − f (x − 2) f (x + 2), para todo número real x. O maior valor atingido pela função g é
(A) 11/2
(B) 5
(C) 9/2
(D) 6
(E) 4

O objetivo desta questão é encontrar o maior valor atingido pela função g(x). A estratégia será primeiro determinar a expressão completa de g(x) e, em seguida, usar as propriedades de uma função quadrática para encontrar seu valor máximo.

O plano de ataque é o seguinte:

  1. Determinar a Expressão de g(x): A função g(x) é definida em termos de f(x). Primeiro, calculamos as expressões para f(x-2) e f(x+2) usando a definição de f(x) = x + 1. Em seguida, substituímos essas expressões na fórmula de g(x).
  2. Analisar a Função g(x): Ao simplificar a expressão, notaremos que g(x) é uma função quadrática. A presença de um sinal negativo multiplicando os termos com “x” indica que o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, o que significa que ela possui um ponto de máximo.
  3. Encontrar o Ponto de Máximo: O maior valor de uma parábola com concavidade para baixo é o seu Y do vértice. Uma forma rápida de encontrar o X do vértice é calcular o ponto médio entre as raízes da função. As raízes podem ser encontradas facilmente a partir da forma fatorada de g(x). Com o valor do X do vértice em mãos, basta calculá-lo na função g(x) para encontrar o valor máximo (o Y do vértice).

Assista ao vídeo acima para ver a determinação da expressão de g(x), o cálculo do X do vértice e como encontrar o valor máximo da função.

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FAMEMA 2025 – Funções

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QUESTÃO 20
Dadas as funções reais f(x) = 3x – 5 e g(x) = 2x² – px + p, em que p é uma constante real, sabe-se que f(2) = g(2).
O valor de g(p – 2) é igual a
(A) 22.
(B) 2.
(C) 11.
(D) 1.
(E) 33.

Para resolver essa questão, o objetivo é encontrar o valor de g(p – 2). A estratégia será usar a informação de que f(2) = g(2) para, em uma sequência de passos, descobrir o valor da constante “p” e, com isso, resolver o problema.

O plano de ataque é o seguinte:

  1. Calcular f(2): Como a função f(x) é totalmente conhecida, podemos substituir x por 2 e encontrar um valor numérico para f(2).
  2. Descobrir o valor de “p”: Sabemos que g(2) é igual ao valor de f(2) que acabamos de encontrar. Vamos substituir x por 2 na expressão de g(x). Isso nos dará uma equação onde a única incógnita é “p”, permitindo que a gente encontre seu valor.
  3. Calcular g(p – 2): Agora que conhecemos o valor de “p”, podemos primeiro calcular o valor de “p – 2”. Em seguida, substituímos esse resultado no lugar de “x” na função g(x) (que agora também está totalmente definida) para encontrar a resposta final.

Assista ao vídeo acima para ver a execução de cada um desses passos, os cálculos detalhados e como chegar ao valor final de g(p – 2).

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FAMINAS 2025 – Função Quadrática

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QUESTÃO 53
A concentração no sangue, de um medicamento administrado para o tratamento de um paciente ao longo do tempo, é descrita pela seguinte função quadrática:
\(C(t)=-2t^2+8t+3\)
Considere t o tempo, em horas, após a ingestão do primeiro comprimido do medicamento pelo paciente.
Qual o tempo necessário, em horas, para a concentração no sangue atingir o seu valor máximo?
A) 0,5.
B)1,0.
C) 1,5.
D) 2,0.
E) 2,5.

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Vestibular Sírio Libanês 2025 – Questão de Função Quadrática Resolvida

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Seja k uma constante real e seja \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) a função definida por \(f(x) = kx^2 – 4x – 10\). Sabendo que o maior valor assumido por essa função é -9,6, o valor de k é
(A) -4.
(B) -2.
(C) -16.
(D) -10.
(E) -8.

sl16Resolução
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Albert Einstein 2025 – Questão Resolvida de Matemática: Função Quadrática

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A figura mostra o projeto de um portal construído de modo que um arco de parábola seja posicionado sobre uma estrutura retangular.


A estrutura retangular tem base medindo 8 m e altura de 6 m.
O ponto mais alto do portal dista 12 m da base. Deseja-se adicionar uma coluna vertical, destacada em vermelho na figura, cuja base dista 2 m de uma das laterais da estrutura retangular. A altura da coluna será de
(A) 9,75 m.
(B) 7,50 m.
(C) 8,25 m.
(D) 10,50 m.
(E) 9,00 m.

Vamos colocar a parábola em um plano cartesiano, de modo que a origem coincida com o vértice superior esquerdo da estrutura retangular.

Agora, identificamos três pontos da parábola, o vértice e as duas intersecções com o eixo x.

Os zeros da função quadrática foram obtidas de acordo com a escolha da origem do plano cartesiano: \(R_1(0,0), R_2(8,0)\).
Por sua vez, o vértice \(V(4,6)\) da parábola foi obtido da seguinte maneira:
\(x_v = \dfrac{0+8}{2} = 4\) (média das raízes)
\(y_v = 12 – 6 = 6\) (ponto mais alto do portal menos altura da base)

Conhecendo os dois zeros da função, podemos escrever a função quadrática na forma fatorada:

\(y = ax(x-8)\)

Como o vértice \(V(4,6)\) pertence à parábola, substituímos:

\(6 = a \cdot4 \cdot (4-8)\)

\(6 = a \cdot 4 \cdot (-4)\)

\(6 = -16a\)

\(16a = -6\)

\(a = – \dfrac{16}{6}\)

\(a = -\dfrac{3}{8}\)

A função quadrática cujo gráfico é a parábola será:

\(y = – \dfrac{3}{8}x\cdot(x-8)\)

Como a coluna vertical dista 2m da lateral esquerda da base, vamos descobrir o valor de \(y\) para \(x = 2\).

\(y = – \dfrac{3}{8} \cdot 2 \cdot(2-8)\)

\(y = – \dfrac{6}{8} \cdot(-6)\)

\(y = \dfrac{36}{8}\)

\(y = 4,5\)

A altura da coluna será:
\(H = 6 + 4,5\)
\(H = \boxed{10,5}\)

✅ Resposta correta: (D) 10,50 m.