Matemática para Vestibulares

Foco em Medicina

FAMEMA

FAMEMA 2025 – Área de Figuras Planas

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QUESTÃO 18
Um retângulo ABCD foi dividido em quatro quadrados, conforme mostra a figura, em que o ponto F é vértice comum a dois desses quadrados e a área do triângulo ABF é 80 cm².
A área do retângulo ABCD é
(A) 270 cm².
(B) 300 cm².
(C) 240 cm².
(D) 330 cm².
(E) 360 cm².

Para resolver essa questão, o objetivo é encontrar a área do retângulo ABCD. A estratégia será usar a informação da área do triângulo ABF para descobrir o valor de uma variável e, com ela, calcular a área total.

Primeiro, vamos definir o lado do menor quadrado como “x”. A partir dessa definição, podemos expressar as dimensões de todos os outros quadrados em função de “x”. Isso nos permitirá determinar a base e a altura tanto do triângulo ABF quanto do retângulo ABCD, tudo em termos de “x”.

A base do triângulo ABF é a soma dos lados de dois quadrados, e sua altura corresponde ao lado de um dos quadrados médios. Com a base e a altura em função de “x”, usamos a fórmula da área do triângulo (base x altura / 2) e igualamos ao valor fornecido de 80 cm².

Essa equação nos permitirá descobrir o valor de x². Note que não é necessário encontrar o valor de “x”, apenas de “x²”. Com o valor de x² em mãos, calculamos a área do retângulo ABCD, que é o produto de sua base e altura, também expressas em função de “x”.

Assista ao vídeo acima para ver a dedução das dimensões, o cálculo para encontrar x² e como chegar à área final do retângulo.

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FAMEMA 2025 – Probabilidade

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QUESTÃO 17
Seis cartas foram numeradas de 1 a 6, cada carta com um único número e distinto dos números das outras cartas. Seis rapazes, entre eles André, Beto e Carlos, receberam cada um e de forma aleatória uma dessas cartas.
A probabilidade de André, Beto e Carlos terem recebido cartas cujos números, dispostos em ordem crescente, são consecutivos é:
(A) 1/4
(B) 1/5
(C) 1/3
(D) 1/6
(E) 1/2

Para resolver essa questão de probabilidade, precisamos calcular a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis.

Primeiro, vamos determinar o número de casos possíveis. O problema consiste em escolher 3 cartas (para André, Beto e Carlos) de um total de 6 cartas disponíveis. Como a ordem em que eles recebem as cartas não altera o conjunto de números que eles possuem, trata-se de um problema de combinação. O cálculo será uma combinação de 6 elementos tomados 3 a 3.

Em seguida, vamos identificar o número de casos favoráveis. O evento favorável é que o conjunto de três cartas recebidas por eles seja formado por números consecutivos. Precisamos listar todos os conjuntos de três números consecutivos possíveis dentro do universo de 1 a 6.

Depois de calcular o total de casos possíveis e listar o total de casos favoráveis, a probabilidade será a divisão do segundo pelo primeiro. O resultado pode ser simplificado para encontrar a fração correspondente a uma das alternativas.

Assista ao vídeo acima para ver o cálculo detalhado da combinação, a listagem dos casos favoráveis e como chegar à probabilidade final.

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FAMEMA 2025 – Geometria Espacial – Volume

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QUESTÃO 16
Um sólido foi construído a partir de quatro paralelepípedos reto-retângulos, sólidos e idênticos, com alguns vértices em comum e algumas faces sobrepostas, conforme mostra a figura.

O volume ocupado por esses 4 paralelepípedos é igual a
(A) 200 m³.
(B) 208 m³.
(C) 216 m³.
(D) 192 m³.
(E) 180 m³.

Para resolver essa questão, o objetivo é calcular o volume total do sólido, que é composto por quatro paralelepípedos idênticos. A estratégia mais direta é calcular o volume de um único paralelepípedo e, em seguida, multiplicar esse resultado por quatro.

Analisando a figura, podemos focar em um dos paralelepípedos para determinar suas três dimensões: comprimento, largura e altura. Duas dessas dimensões são dadas diretamente na figura como 6 metros e 4 metros.

A terceira dimensão, que corresponde à “espessura” de cada bloco, não é informada diretamente, mas pode ser deduzida. Observando a parte superior do sólido, vemos que a dimensão de 6 metros é composta pela sobreposição de três dessas espessuras. A partir dessa informação, podemos calcular o valor dessa dimensão faltante.

Uma vez que as três dimensões de um paralelepípedo são conhecidas, calculamos seu volume multiplicando-as. O passo final é multiplicar esse volume individual por quatro para obter o volume total do sólido.

Assista ao vídeo acima para ver a dedução da dimensão que falta e o cálculo completo para chegar ao volume final.

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FAMEMA 2025 – Trigonometria

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QUESTÃO 15
No plano, um lado de um retângulo está sobre a reta r. Um ponto P, sobre a reta r, é tal que o segmento de reta que liga P a um dos vértices do retângulo forma, com um de seus lados, um ângulo α, conforme mostra a figura.

Sabendo que tg α = 1/3, a área do triângulo hachurado na figura é
(A) 30 cm².
(B) 21 cm².
(C) 24 cm².
(D) 27 cm².
(E) 18 cm².

Para resolver essa questão, o objetivo é calcular a área do triângulo hachurado. Como é um triângulo retângulo, sua área é dada por (base x altura) / 2. Vou chamar a base de X e a altura de Y.

A informação principal fornecida é que a tangente do ângulo α é igual a 1/3. A chave da resolução está em identificar dois triângulos retângulos diferentes na figura onde podemos aplicar essa relação.

O primeiro é o triângulo maior, que inclui o retângulo. Nesse triângulo, o cateto oposto a α mede 6, e o cateto adjacente é a soma do lado do retângulo (6) com a base do nosso triângulo (X). Montando a relação da tangente (cateto oposto / cateto adjacente) e igualando a 1/3, conseguimos encontrar o valor de X.

O segundo triângulo é o próprio triângulo hachurado. Nele, o cateto oposto a α é Y e o cateto adjacente é X. Usando novamente a relação da tangente e o valor de X que acabamos de encontrar, podemos calcular o valor de Y.

Com os valores de X e Y em mãos, basta aplicar a fórmula da área do triângulo.

Assista ao vídeo acima para ver a aplicação detalhada da tangente em ambos os triângulos, os cálculos para encontrar X e Y, e a determinação da área final.

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FAMEMA 2025 – Geometria Analítica

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QUESTÃO 14
No plano cartesiano, a partir de A(0, 0) e B(4, 0) foi construído um quadrado ABCD, um quadrado BDFE e um quadrado BFGH.

A equação da reta EG é
(A) x + 3y – 20 = 0
(B) x + 4y – 16 = 0
(C) x + 4y – 20 = 0
(D) x + 3y – 16 = 0
(E) x + 3y – 24 = 0

Para resolver essa questão, o objetivo é descobrir a equação da reta que passa pelos pontos E e G. A estratégia principal é, primeiro, determinar as coordenadas exatas desses dois pontos.

Analisando a construção dos quadrados a partir dos pontos A(0,0) e B(4,0), podemos deduzir as dimensões e posições das figuras. O primeiro quadrado, ABCD, tem lado 4. Isso nos ajuda a encontrar as coordenadas dos pontos C e D.

Em seguida, usamos as propriedades dos quadrados e suas diagonais para encontrar as coordenadas dos pontos F, E, e G. Por exemplo, o cruzamento das diagonais de um quadrado ocorre em seu ponto médio, o que é uma informação crucial para descobrir a posição de E. Da mesma forma, sabendo o lado do quadrado BFGH, podemos determinar a abscissa e a ordenada de G.

Uma vez que temos as coordenadas dos pontos E e G, podemos usar o método do determinante para encontrar a equação geral da reta. O cálculo envolve o mesmo conceito de montar uma matriz 3×3 com (x, y), as coordenadas de E e as coordenadas de G, e igualar seu determinante a zero, porém de uma forma simplificada.

Assista ao vídeo acima para ver a dedução detalhada de cada coordenada, a aplicação do cálculo do determinante e como chegar à equação final da reta EG.

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FAMEMA 2025 – Sistema de Equações

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QUESTÃO 13
Cássia é consultora e visita cada empresa que atende por um dia ou por dois dias. Quando faz a visita de dois dias, Cassia recebe R$ 400,00 por dia e quando faz a visita de um dia, ela recebe R$ 450,00. Em setembro, Cassia trabalhou por 18 dias, tendo recebido o total de R$ 7.400,00. O número de empresas que Cassia visitou em setembro foi
(A) 7.
(B) 8.
(C) 9.
(D) 10.
(E) 11.

nossas incógnitas: vou chamar de X o número de empresas visitadas por um dia e de Y o número de empresas visitadas por dois dias. O objetivo final é descobrir o valor de X + Y.

A primeira equação será baseada no valor total recebido. As visitas de um dia (X) geram R$ 450 cada. As visitas de dois dias (Y) geram 2 x R$ 400, ou seja, R$ 800 cada. A soma dessas receitas deve ser igual a R$ 7.400.

A segunda equação será baseada no total de dias trabalhados. Cada visita do tipo X conta como um dia, e cada visita do tipo Y conta como dois dias. A soma desses dias deve ser igual a 18.

Com essas duas equações montadas, temos um sistema linear. A estratégia para resolvê-lo é simplificar a primeira equação e depois usar o método da substituição, isolando uma das incógnitas na segunda equação e aplicando na primeira.

Assista ao vídeo acima para ver a montagem do sistema, a resolução passo a passo e o cálculo final para encontrar o número total de empresas visitadas.

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