FMJ 2026 – Progressão Aritmética e Logaritmo – QUESTÃO 12 Resolvida

Tomando-se o logaritmo na base 2 dos termos da sequência numérica B = (b₁ , b₂ , b₃ , . . .), obtém-se uma progressão aritmética A = (a₁ , a₂ , a₃, . . .), em que, para todo n ≥ 1,
a_n = log₂ bn . Sabendo que a₁ = 1 e que a razão da progressão aritmética A é 1/2, o oitavo termo da sequência B é igual a
(A) 16
(B) 8
(C) 32
(D) \(8\sqrt{2}\)
(E) \(16\sqrt{2}\)

Para resolver essa questão, o objetivo é encontrar o oitavo termo da sequência B, ou seja, o b₈. A estratégia será usar a relação entre as sequências A e B, que é dada por uma função logarítmica.

O plano de ataque é o seguinte:

1. Encontrar o a₈: A sequência A é uma Progressão Aritmética (PA) com o primeiro termo (a₁) e a razão conhecidos. Usando a fórmula do termo geral da PA, podemos calcular facilmente o valor do oitavo termo, o a₈.
2. Relacionar a₈ com b₈: O enunciado nos diz que an = log de bn na base 2. Aplicando essa relação para n=8, temos que a8 = log de b8 na base 2.
3. Calcular o b8: Agora que conhecemos o valor de a₈, temos uma equação logarítmica onde a única incógnita é b8. Aplicando a definição de logaritmo, podemos isolar b8 e encontrar seu valor. O cálculo final envolverá trabalhar com um expoente fracionário, que pode ser convertido para uma raiz para simplificação.

Assista ao vídeo acima para ver o cálculo do termo geral da PA, a aplicação da definição de logaritmo e a simplificação da potência para chegar ao valor final de b8.